Determine se as seguintes afirmações são verdadeiras ou falsas.
Uma matriz 5 \times 7 não pode ter uma posição pivô em cada linha.

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a afirmação abaixo é verdadeira ou falsa:
Uma matriz \,5\times7\, não pode ter uma posição pivô em cada linha.
Informações dadas:
  • A matriz tem 5 linhas e 7 colunas, ou seja, é uma matriz de tamanho \,5\times7\,.
  • A pergunta é apenas determinar se a afirmação (que uma matriz 5\times7 não pode ter uma posição pivô em cada linha) é verdadeira ou falsa.

Passo 2

O que é “posição pivô” e como contar pivôs (aula rápida e prática).
  • Quando se reduz uma matriz à forma escalonada por linhas (row echelon form), em cada linha não nula aparece um primeiro elemento não nulo; esse elemento é chamado de pivô naquela linha.
  • Regras úteis e intuitivas sobre pivôs:
    1. Cada pivô está em uma coluna diferente (do contrário dois pivôs estariam na mesma coluna).
    2. Cada pivô está em uma linha diferente (um pivô por linha não nula).
    3. O número de pivôs da matriz é exatamente o posto (rank) da matriz, isto é, o número de linhas (ou colunas) linearmente independentes.

Passo 3

Lema fundamental (fórmula que se usa na prova).
  • Para uma matriz de tamanho m\times n, o número máximo de pivôs é \min(m,n). Em notação:
\text{nº máximo de pivôs} = \min(m,n).ºáô
Explicação curta: não se pode ter mais pivôs do que o número de linhas (cada pivô ocupa uma linha distinta) nem mais do que o número de colunas (cada pivô ocupa uma coluna distinta). Por isso o máximo é o menor entre m e n.

Passo 4

Aplicando ao caso 5\times7.
  • Aqui m=5 e n=7. Então
\min(5,7)=5.
  • Isso significa que uma matriz 5\times7 pode ter no máximo 5 pivôs — e esse número 5 é exatamente o número de linhas. Logo é possível ter uma posição pivô em cada uma das 5 linhas (ou seja, ter 5 pivôs no total).

Passo 5

Um exemplo explícito (para visualizar na prova).
  • Uma construção simples que tem pivô em cada linha é colocar uma identidade 5\times5 nas primeiras cinco colunas e quaisquer duas colunas adicionais (podem ser zeros). Por exemplo, a matriz A abaixo é 5\times7 e tem pivô em cada linha:
A=\begin{pmatrix} 1&0&0&0&0&0&0\\[4pt] 0&1&0&0&0&0&0\\[4pt] 0&0&1&0&0&0&0\\[4pt] 0&0&0&1&0&0&0\\[4pt] 0&0&0&0&1&0&0 \end{pmatrix}.
Nessa matriz, cada uma das cinco primeiras colunas contém um pivô em linhas diferentes, então há posição pivô em cada linha.]

Passo 6

Regra prática para a prova (como checar rápido).
  • Para saber se uma matriz m\times n pode ter pivô em cada linha, verifique se m\le n. Se m\le n então é possível ter pivô em cada linha (posto máximo =m). Se m>n então é impossível ter pivô em cada linha, porque o número de pivôs não pode exceder n.

Resposta

Falsa

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