Determine se as seguintes afirmações são verdadeiras ou falsas.
Uma matriz
não pode ter uma posição pivô em cada linha.
Uma matriz
Passo 1
O enunciado pede para decidir se a afirmação abaixo é verdadeira ou falsa:
Uma matriz não pode ter uma posição pivô em cada linha.
Uma matriz
Informações dadas:
- A matriz tem
linhas e colunas, ou seja, é uma matriz de tamanho . - A pergunta é apenas determinar se a afirmação (que uma matriz
não pode ter uma posição pivô em cada linha) é verdadeira ou falsa.
Passo 2
O que é “posição pivô” e como contar pivôs (aula rápida e prática).
- Quando se reduz uma matriz à forma escalonada por linhas (row echelon form), em cada linha não nula aparece um primeiro elemento não nulo; esse elemento é chamado de pivô naquela linha.
- Regras úteis e intuitivas sobre pivôs:
- Cada pivô está em uma coluna diferente (do contrário dois pivôs estariam na mesma coluna).
- Cada pivô está em uma linha diferente (um pivô por linha não nula).
- O número de pivôs da matriz é exatamente o posto (rank) da matriz, isto é, o número de linhas (ou colunas) linearmente independentes.
Passo 3
Lema fundamental (fórmula que se usa na prova).
- Para uma matriz de tamanho
, o número máximo de pivôs é . Em notação:
Explicação curta: não se pode ter mais pivôs do que o número de linhas (cada pivô ocupa uma linha distinta) nem mais do que o número de colunas (cada pivô ocupa uma coluna distinta). Por isso o máximo é o menor entre
e
.
Passo 4
Aplicando ao caso
.
- Aqui
e . Então
- Isso significa que uma matriz
pode ter no máximo pivôs — e esse número é exatamente o número de linhas. Logo é possível ter uma posição pivô em cada uma das linhas (ou seja, ter pivôs no total).
Passo 5
Um exemplo explícito (para visualizar na prova).
- Uma construção simples que tem pivô em cada linha é colocar uma identidade
nas primeiras cinco colunas e quaisquer duas colunas adicionais (podem ser zeros). Por exemplo, a matriz abaixo é e tem pivô em cada linha:
Nessa matriz, cada uma das cinco primeiras colunas contém um pivô em linhas diferentes, então há posição pivô em cada linha.]
Passo 6
Regra prática para a prova (como checar rápido).
- Para saber se uma matriz
pode ter pivô em cada linha, verifique se . Se então é possível ter pivô em cada linha (posto máximo ). Se então é impossível ter pivô em cada linha, porque o número de pivôs não pode exceder .
Resposta
Falsa