Determine os valores de h e k tais que o seguinte sistema linear (a) não tenha solução, (b) tenha uma solução única e (c) tenha infinitas soluções.
\left\{\begin{array}{l} x_{1}+h x_{2}=1 \\\\ 2 x_{1}+3 x_{2}=k \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear
\left\{\begin{array}{l} x_{1}+h x_{2}=1\\[4pt] 2x_{1}+3x_{2}=k \end{array}\right.
As perguntas são: determinar os valores de h e k tais que
(a) o sistema não tenha solução;
(b) o sistema tenha solução única;
(c) o sistema tenha infinitas soluções.
Vou listar aqui só os dados e o que se pede. Não vou resolver nada ainda.]

Passo 2

Vamos organizar o sistema em forma matricial para ver as condições de existência e unicidade de solução. A matriz dos coeficientes é
A=\begin{pmatrix}1 & h\\[2pt] 2 & 3\end{pmatrix}
e o vetor dos termos independentes é
b=\begin{pmatrix}1\\[2pt] k\end{pmatrix}.
Um fato central (que vou explicar) é: para um sistema linear A x=b com A quadrada 2\times2, se \det(A)\neq0 então A é invertível e o sistema tem solução única; se \det(A)=0 então as linhas (ou colunas) de A são linearmente dependentes e podemos ter ou nenhuma solução (inconsistente) ou infinitas soluções (dependência e consistência).
Explicando o conceito usado:
  • Para uma matriz 2\times2 a determinante mede (geometricamente) se as duas linhas/colunas são múltiplos uma da outra. A fórmula é simples para 2\times2.
  • Se \det(A)\neq0 então as equações são independentes e existe exatamente uma solução (pode usar inversa de A ou regra de Cramer).
  • Se \det(A)=0 as equações são dependentes (ou proporcionais). Nesse caso, comparando os termos independentes decide-se entre consistência (mesma equação repetida → infinitas soluções) ou inconsistência (equações contraditórias → nenhuma solução).]

Passo 3

Calcular a determinante de A. Para 2\times2 vale
\det(A)=1\cdot 3 - 2\cdot h = 3-2h.
Portanto:
  • Se \,3-2h\neq0 então \det(A)\neq0 e o sistema tem solução única.
  • Se \,3-2h=0 então \det(A)=0 e devemos estudar consistência do sistema (pode ser nenhuma solução ou infinitas soluções).
Para ilustrar como se obtém a solução quando \det(A)\neq0, posso aplicar a regra de Cramer (útil na prova porque é rápido para 2\times2). Definindo
\Delta=\det(A)=3-2h,
\Delta_1=\begin{vmatrix}1 & h\\[2pt] k & 3\end{vmatrix}=1\cdot 3 - h\cdot k = 3-hk,
\Delta_2=\begin{vmatrix}1 & 1\\[2pt] 2 & k\end{vmatrix}=1\cdot k - 1\cdot 2 = k-2,
temos (quando \Delta\neq0)
x_1=\frac{\Delta_1}{\Delta}=\frac{3-hk}{3-2h}, \qquad x_2=\frac{\Delta_2}{\Delta}=\frac{k-2}{3-2h}.
Isto prova concretamente que para \,h\neq\dfrac{3}{2} há solução única (qualquer k).]

Passo 4

Agora estudar o caso crítico \,3-2h=0, i.e. h=\dfrac{3}{2}. Substituindo h=\dfrac{3}{2} na primeira equação obtemos
x_1+\frac{3}{2}x_2=1.
Multiplicando essa equação por 2 chega-se a
2x_1+3x_2=2.
Compare isso com a segunda equação original 2x_1+3x_2=k. Assim, quando h=\dfrac{3}{2} as equações têm os mesmos coeficientes na forma 2x_1+3x_2= algo, e a consistência depende de k.

Passo 5

Subcasos para h=\dfrac{3}{2}:
  • Se k=2 então a segunda equação é exatamente a mesma que a primeira (após multiplicar a primeira por 2). Logo há dependência entre as equações e elas representam a mesma reta no plano (x_1,x_2). Nesse caso o sistema tem infinitas soluções. Para escrever a família de soluções, escolha um parâmetro t para x_2. Da primeira equação com h=\dfrac{3}{2}:
x_1+\frac{3}{2}x_2=1
portanto
x_1=1-\frac{3}{2}x_2.
Tomando x_2=t com t\in\mathbb{R} obtemos a solução geral
x_1=1-\frac{3}{2}t,\qquad x_2=t,
ou seja infinitas soluções parametricamente.
  • Se k\neq 2 então a segunda equação é 2x_1+3x_2=k com k diferente de 2. Mas a primeira (multiplicada por 2) dá 2x_1+3x_2=2. Subtraindo essas duas equações obtém-se a contradição
0 = k-2,
que é falsa quando k\neq2. Portanto o sistema é inconsistente e não tem solução.

Passo 6

Resumo do raciocínio já desenvolvido:
  • O determinante \Delta=3-2h decide a unicidade.
  • Se \Delta\neq0 (ou seja h\neq\dfrac{3}{2}) existe solução única (valores explicitados pela regra de Cramer).
  • Se \Delta=0 (ou seja h=\dfrac{3}{2}) então a consistência depende de k: k=2 → infinitas soluções, k\neq2 → nenhuma solução.

Resposta

(a) Não tem solução para h=\dfrac{3}{2} e k\neq 2.
(b) Tem solução única para h\neq \dfrac{3}{2} (qualquer k).
(c) Tem infinitas soluções para h=\dfrac{3}{2} e k=2.

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