Determine se as seguintes afirmações são verdadeiras ou falsas. Se verdadeiro, explique por quê. Se falso, explique por que ou dê um contra-exemplo.
Se f(1)>0 e f(3)<0, então existe um número c entre 1 e 3 tal que f\text{(c)}=0.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e faz a seguinte pergunta:
  • Informação: f(1)>0.
  • Informação: f(3)<0.
  • Pergunta: “Então existe um número c entre 1 e 3 tal que f\text{(c)}=0?” — isto é, a afirmação é verdadeira ou falsa? Se for verdadeira, justificar; se for falsa, justificar ou dar um contra‑exemplo.

Passo 2

Observação importante (sem resolver ainda): o enunciado não diz nada sobre continuidade de f. Isso costuma ser crucial para perguntas que envolvem sinais opostos em extremos de um intervalo. Vou primeiro mostrar que, sem hipótese adicional (por exemplo continuidade), a afirmação é falsa, dando um contra‑exemplo bem simples.

Passo 3

Construção do contra‑exemplo (função com salto): defina
f(x)=\begin{cases} 1, & \text{se }1\le x<2,\\[4pt] -1, & \text{se }2\le x\le3. \end{cases}
Aqui estou pegando uma função que vale 1 em toda a parte esquerda do intervalo [1,3] até antes de 2, e vale -1 a partir de 2 até 3.]

Passo 4

Verificação do contra‑exemplo:
  • Temos f(1)=1>0.
  • Temos f(3)=-1<0.
  • Para qualquer x\in[1,3] a função só assume os valores 1 ou -1; portanto não existe c\in[1,3] tal que f\text{(c)}=0.
Conclusão parcial: a afirmação original (sem hipótese extra) é falsa, porque este f satisfaz f(1)>0 e f(3)<0 mas não tem zero entre 1 e 3. O problema foi a descontinuidade (um salto) em x=2.

Passo 5

Agora a parte didática: qual é a versão correta (verdadeira) que costuma aparecer em provas? É o chamado Teorema do Valor Intermediário (ou Teorema de Bolzano, em uma forma particular). Vou enunciar e explicar passo a passo por que, com continuidade, a afirmação fica verdadeira.
Enunciado (versão usada em provas):
\text{Se }f\text{ é contínua em }[1,3]\text{ e }f(1)\cdot f(3)<0,\text{ então existe }c\in(1,3)\text{ tal que }f\text{(c)}=0.éíã
Explicação do que isso significa e por que é razoável: continuidade significa que f não tem saltos — ao mover x aos poucos, f(x) também muda aos poucos. Se num extremo f é positivo e no outro extremo é negativo, para passar de positivo a negativo sem saltos o gráfico precisa atravessar a linha y=0 em algum ponto interior.

Passo 6

Demonstração padrão (método do supremo, uma prova clássica e adequada para provas):
  • Considere o conjunto
S=\{x\in[1,3]\mid f(x)>0\}.
  • Observações sobre S:
    • Como f(1)>0, temos 1\in S, então S\neq\varnothing.
    • Como f(3)<0, temos 3\notin S, e todos os x maiores próximos de 3 podem não estar em S; em todo caso S\subseteq[1,3], então S é limitado superiormente por 3.
  • Portanto o supremo c=\sup S existe e satisfaz 1\le c\le 3.
Agora uso a continuidade de f em c para mostrar que f\text{(c)}=0.
  • Porque c=\sup S, existe uma sequência (x_n) em S com x_n\to c e para cada n temos f(x_n)>0. Tomando limite e usando continuidade,
\lim_{n\to\infty} f(x_n)=f\text{(c)}.
Como cada f(x_n)>0, o limite satisfaz f\text{(c)}\ge 0.
  • Por outro lado, se fosse f\text{(c)}>0, então por continuidade haveria um intervalo (c-\delta,c+\delta) onde f também é positiva, o que contradiz o fato de c ser supremo de S (porque então existiriam pontos maiores que c em S). Logo não pode ser f\text{(c)}>0.
  • Também não pode ser f\text{(c)}<0, porque se f\text{(c)}<0 a continuidade daria um vizinho à esquerda de c onde f é negativa, contradizendo que c é limite superior de pontos onde f>0.
Portanto a única possibilidade é
f\text{(c)}=0.
E c pertence a [1,3]. Como f(1)>0 e f(3)<0, na prática c cai em (1,3).

Passo 7

Resumo final da didática para a prova:
  • Se o enunciado não garante continuidade, a afirmação pode ser falsa (use contra‑exemplo com salto).
  • Se o enunciado garante que f é contínua em [1,3], então a afirmação é verdadeira e a justificativa é exatamente o Teorema do Valor Intermediário (prova via supremo ou por bissecção).
  • Em provas, ao ver "existe c tal que f\text{(c)}=0" quando f(1) e f(3) têm sinais opostos, a primeira coisa a checar é: o enunciado afirma que f é contínua? Se sim, cite o Teorema do Valor Intermediário; se não, construa um contra‑exemplo como fiz acima.

Resposta

Falso.
(Entretanto, se f for contínua em [1,3], então a afirmação é verdadeira por meio do Teorema do Valor Intermediário.)

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