Determine se as seguintes afirmações são verdadeiras ou falsas. Se verdadeiro, explique por quê. Se falso, explique por que ou dê um contra-exemplo.
Se
e
, então existe um número
entre 1 e 3 tal que
.
Se
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e faz a seguinte pergunta:
- Informação:
. - Informação:
. - Pergunta: “Então existe um número
entre 1 e 3 tal que ?” — isto é, a afirmação é verdadeira ou falsa? Se for verdadeira, justificar; se for falsa, justificar ou dar um contra‑exemplo.
Passo 2
Observação importante (sem resolver ainda): o enunciado não diz nada sobre continuidade de
. Isso costuma ser crucial para perguntas que envolvem sinais opostos em extremos de um intervalo. Vou primeiro mostrar que, sem hipótese adicional (por exemplo continuidade), a afirmação é falsa, dando um contra‑exemplo bem simples.
Passo 3
Construção do contra‑exemplo (função com salto): defina
Aqui estou pegando uma função que vale
em toda a parte esquerda do intervalo
até antes de
, e vale
a partir de
até
.]
Passo 4
Verificação do contra‑exemplo:
- Temos
. - Temos
. - Para qualquer
a função só assume os valores ou ; portanto não existe tal que .
Conclusão parcial: a afirmação original (sem hipótese extra) é falsa, porque este
satisfaz
e
mas não tem zero entre 1 e 3. O problema foi a descontinuidade (um salto) em
.
Passo 5
Agora a parte didática: qual é a versão correta (verdadeira) que costuma aparecer em provas? É o chamado Teorema do Valor Intermediário (ou Teorema de Bolzano, em uma forma particular). Vou enunciar e explicar passo a passo por que, com continuidade, a afirmação fica verdadeira.
Enunciado (versão usada em provas):
Explicação do que isso significa e por que é razoável: continuidade significa que
não tem saltos — ao mover
aos poucos,
também muda aos poucos. Se num extremo
é positivo e no outro extremo é negativo, para passar de positivo a negativo sem saltos o gráfico precisa atravessar a linha
em algum ponto interior.
Passo 6
Demonstração padrão (método do supremo, uma prova clássica e adequada para provas):
- Considere o conjunto
- Observações sobre
: - Como
, temos , então . - Como
, temos , e todos os maiores próximos de podem não estar em ; em todo caso , então é limitado superiormente por .
- Como
- Portanto o supremo
existe e satisfaz .
Agora uso a continuidade de
em
para mostrar que
.
- Porque
, existe uma sequência em com e para cada temos . Tomando limite e usando continuidade,
Como cada
, o limite satisfaz
.
-
Por outro lado, se fosse
, então por continuidade haveria um intervalo onde também é positiva, o que contradiz o fato de ser supremo de (porque então existiriam pontos maiores que em ). Logo não pode ser . -
Também não pode ser
, porque se a continuidade daria um vizinho à esquerda de onde é negativa, contradizendo que é limite superior de pontos onde .
Portanto a única possibilidade é
E
pertence a
. Como
e
, na prática
cai em
.
Passo 7
Resumo final da didática para a prova:
- Se o enunciado não garante continuidade, a afirmação pode ser falsa (use contra‑exemplo com salto).
- Se o enunciado garante que
é contínua em , então a afirmação é verdadeira e a justificativa é exatamente o Teorema do Valor Intermediário (prova via supremo ou por bissecção). - Em provas, ao ver "existe
tal que " quando e têm sinais opostos, a primeira coisa a checar é: o enunciado afirma que é contínua? Se sim, cite o Teorema do Valor Intermediário; se não, construa um contra‑exemplo como fiz acima.
Resposta
Falso.
(Entretanto, se for contínua em
, então a afirmação é verdadeira por meio do Teorema do Valor Intermediário.)
(Entretanto, se