Questão 03. (2,5 pontos)
Determine a reta tangente à curva no ponto indicado
x y^{2}+\cos (y)=1, \text { no ponto } P\left(\frac{2}{\pi^{2}}, \pi\right)

Passo 1

O enunciado pede: determinar a reta tangente à curva
x y^{2}+\cos(y)=1
no ponto P\!\left(\frac{2}{\pi^{2}},\pi\right).
Informações dadas:
\begin{aligned} &\text{Equação da curva: } x y^{2}+\cos(y)=1,\\\ &\text{Ponto onde queremos a tangente: } P\!\left(x_{0},y_{0}\right)=\left(\frac{2}{\pi^{2}},\pi\right). \end{aligned}çã
O que precisa ser encontrado: a equação da reta tangente à curva no ponto P.

Passo 2

Como a equação envolve x e y misturados (não é dada na forma y=f(x)), vamos obter a inclinação (derivada dy/dx no ponto) usando diferenciação implícita.
Vou ensinar as regras que vou usar:
  • Derivada de uma soma é a soma das derivadas.
  • Regra do produto: se temos \,u(x)\,v(x), então
\frac{d}{dx}\big(u v\big)=u'\,v+u\,v'.
No nosso caso, pense em x como u e y^{2} como v (lembrando que y depende de x).
  • Regra da cadeia: se temos \cos(y(x)), então
\frac{d}{dx}\cos(y)=-\sin(y)\,\frac{dy}{dx}.
  • Notação: vou escrever \displaystyle y'=\frac{dy}{dx}.
Agora aplico a diferenciação termo a termo na equação \,x y^{2}+\cos(y)=1.
Diferenciando ambos os lados em relação a x:
\frac{d}{dx}\big(x y^{2}\big)+\frac{d}{dx}\big(\cos(y)\big)=\frac{d}{dx}(1).
Pelo produto, \frac{d}{dx}(x y^{2}) = 1\cdot y^{2} + x\cdot 2y\,y'.
Pela cadeia, \frac{d}{dx}(\cos(y)) = -\sin(y)\,y'.
E \frac{d}{dx}(1)=0.
Portanto obtemos a equação (escrevo em bloco para ficar claro):
y^{2} + 2x y\,y' - \sin(y)\,y' = 0.
Agora isolamos y'. Agrupando os termos com y':
y^{2} + \big(2x y - \sin(y)\big)y' = 0.
Isolando y':
y'\big(2x y - \sin(y)\big) = -y^{2},
logo
\boxed{\,y' = -\dfrac{y^{2}}{2x y - \sin(y)}\,.}
Essa fórmula dá a inclinação da tangente em qualquer ponto (x,y) da curva (desde que o denominador não seja zero).

Passo 3

Agora avaliamos y' no ponto dado \left(\frac{2}{\pi^{2}},\pi\right).
Primeiro calculo as partes:
y^{2}=\pi^{2}.
2x y = 2\cdot\frac{2}{\pi^{2}}\cdot\pi = \frac{4}{\pi}.
\sin(y)=\sin(\pi)=0.
Substituindo na fórmula de y':
y'\Big|_{P} = -\dfrac{\pi^{2}}{\frac{4}{\pi}-0} = -\pi^{2}\cdot\frac{\pi}{4} = -\frac{\pi^{3}}{4}.
Portanto a inclinação (coeficiente angular) da reta tangente em P é
\boxed{m = -\dfrac{\pi^{3}}{4}.}

Passo 4

A equação da reta tangente em forma ponto-inclinação é
y-y_{0}=m\,(x-x_{0}),
com x_{0}=\dfrac{2}{\pi^{2}}, y_{0}=\pi e m=-\dfrac{\pi^{3}}{4}.
Posso transformar para a forma explícita y=mx+b. O termo b é
b=y_{0}-m x_{0}=\pi -\left(-\dfrac{\pi^{3}}{4}\right)\cdot\frac{2}{\pi^{2}}.
Calculo o segundo termo:
-\left(-\dfrac{\pi^{3}}{4}\right)\cdot\frac{2}{\pi^{2}}= \dfrac{\pi^{3}}{4}\cdot\frac{2}{\pi^{2}}=\dfrac{2\pi}{4}=\dfrac{\pi}{2}.
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b=\pi+\dfrac{\pi}{2}=\dfrac{3\pi}{2}.
Então a forma explícita é y=mx+b com m=-\dfrac{\pi^{3}}{4} e b=\dfrac{3\pi}{2}.

Passo 5

Resumo rápido e um incentivo: encontramos a derivada por diferenciação implícita, avaliamos em P e montamos a reta no formato ponto-inclinação e em seguida na forma explícita. Dá para fazer isso na prova passo a passo como fiz aqui — mantenha sempre claro o uso da regra do produto e da cadeia e calcule com calma os valores numéricos (como \sin(\pi)=0).

Resposta

\text{Forma ponto-inclinação: } y-\pi = -\dfrac{\pi^{3}}{4}\left(x-\dfrac{2}{\pi^{2}}\right)çã
\text{Forma explícita: } y=\dfrac{3\pi}{2}-\dfrac{\pi^{3}}{4}\,xí

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