Questão 03. (2,5 pontos)
Determine a reta tangente à curva no ponto indicado
x y^{2}+\cos (y)=1, \text { no ponto } P\left(\frac{2}{\pi^{2}}, \pi\right)
Passo 1
O enunciado pede: determinar a reta tangente à curva
x y^{2}+\cos(y)=1
no ponto P\!\left(\frac{2}{\pi^{2}},\pi\right).
Informações dadas:
\begin{aligned} &\text{Equação da curva: } x y^{2}+\cos(y)=1,\\\ &\text{Ponto onde queremos a tangente: } P\!\left(x_{0},y_{0}\right)=\left(\frac{2}{\pi^{2}},\pi\right). \end{aligned}
O que precisa ser encontrado: a equação da reta tangente à curva no ponto P.
Passo 2
Como a equação envolve x e y misturados (não é dada na forma y=f(x)), vamos obter a inclinação (derivada dy/dx no ponto) usando diferenciação implícita.
Vou ensinar as regras que vou usar:
Derivada de uma soma é a soma das derivadas.
Regra do produto: se temos \,u(x)\,v(x), então
\frac{d}{dx}\big(u v\big)=u'\,v+u\,v'.
No nosso caso, pense em x como u e y^{2} como v (lembrando que y depende de x).
Então a forma explícita é y=mx+b com m=-\dfrac{\pi^{3}}{4} e b=\dfrac{3\pi}{2}.
Passo 5
Resumo rápido e um incentivo: encontramos a derivada por diferenciação implícita, avaliamos em P e montamos a reta no formato ponto-inclinação e em seguida na forma explícita. Dá para fazer isso na prova passo a passo como fiz aqui — mantenha sempre claro o uso da regra do produto e da cadeia e calcule com calma os valores numéricos (como \sin(\pi)=0).