Questão 3: [10 pontos] Encontre a solução de estado estacionário para o problema de Dirichlet
\begin{cases}u_{t}=u_{x x} & \text { se } 0<x<1 \text { e } t>0, \\\ u(x, 0)=e^{x}-x^{4} \cos x+\log \sqrt{x} & \text { se } 0 \leqslant x \leqslant 1, \\\ u(0, t)=-5 & \text { se } t \geqslant 0 . \\\ u(1, t)=10 & \text { se } t \geqslant 0 .\end{cases}

Passo 1

O enunciado pede: “Encontre a solução de estado estacionário” para o problema dado. Informações fornecidas (copiadas do enunciado):
\begin{cases} u_{t}=u_{x x} & \text{se } 0<x<1 \text{ e } t>0,\\[4pt] u(x,0)=e^{x}-x^{4}\cos x+\log\sqrt{x} & \text{se } 0\le x\le 1,\\[4pt] u(0,t)=-5 & \text{se } t\ge 0,\\[4pt] u(1,t)=10 & \text{se } t\ge 0. \end{cases}
Coisas a notar (apenas listando dados):
  • A equação de evolução é \,u_{t}=u_{xx}\, no intervalo 0<x<1.
  • Condição inicial: \,u(x,0)=e^{x}-x^{4}\cos x+\log\sqrt{x}\,.
  • Condições de contorno (Dirichlet): \,u(0,t)=-5\, e \,u(1,t)=10\,.
  • Pedido: a “solução de estado estacionário” (ou seja, a solução independente do tempo).]

Passo 2

O que significa “solução de estado estacionário” e como a identificamos (explicação didática):
  • Uma solução de estado estacionário é uma solução que não muda com o tempo, isto é, é independente de t. Podemos escrever essa solução como uma função só de x; chamo-a de v(x).
  • Se u(x,t)=v(x) não depende de t, então a derivada temporal é nula: \,u_{t}=0.
  • Substituindo \,u(x,t)=v(x) na equação \,u_{t}=u_{xx}\, obtemos a equação para v:
0 = v''(x).
Esta é uma equação ordinária de segunda ordem relativamente simples: \,v''(x)=0\,.

Passo 3

Resolver a equação ordinária \,v''(x)=0\, passo a passo (muito didático):
  • Integrando uma vez em x, obtemos que a derivada primeira é constante. Ou seja, existe uma constante \,C_{1}\, tal que
v'(x)=C_{1}.
Explicando: integrar v''(x)=0 significa encontrar uma função cuja derivada é zero; a primitiva de zero é uma constante.
  • Integrando novamente em x, obtemos a forma geral de v:
v(x)=C_{1}x+C_{2},
onde \,C_{2}\, é outra constante arbitrária de integração. Portanto, a solução geral da equação v''=0 é uma função linear em x.

Passo 4

Aplicar as condições de contorno para determinar as constantes \,C_{1} e \,C_{2}:
  • As condições de contorno são \,u(0,t)=-5\, e \,u(1,t)=10. Como a solução estacionária v(x) não depende de t, aplicamos essas condições em v:
    • Para x=0: v(0)=C_{1}\cdot 0 + C_{2}=C_{2}=-5.
    • Para x=1: v(1)=C_{1}\cdot 1 + C_{2}=C_{1}+C_{2}=10.
  • Substituindo C_{2}=-5 na segunda equação:
C_{1}+(-5)=10.
  • Resolvendo para C_{1}:
C_{1}=10+5=15.
Assim temos \,C_{1}=15\, e \,C_{2}=-5\,.

Passo 5

Escrever a solução estacionária explícita e verificar rapidamente:
  • Substituindo as constantes na forma geral v(x)=C_{1}x+C_{2}, obtemos
v(x)=15x-5.
  • Verificação rápida:
    • v''(x)=0, portanto satisfaz a equação reduzida.
    • v(0)=15\cdot 0-5=-5 e v(1)=15\cdot 1-5=10, ou seja, satisfaz as condições de contorno.
  • Observação importante (didática e útil para provas): a condição inicial \,u(x,0)=e^{x}-x^{4}\cos x+\log\sqrt{x}\, não entra no cálculo da solução estacionária — a solução de equilíbrio é determinada apenas pelas condições de contorno, desde que o problema seja bem comportado. A condição inicial afeta a evolução transitória, mas não o estado final estacionário.

Passo 6

Interpretação prática e dica para a prova (tom amigável):
  • Resultado intuitivo: quando a equação é \,u_{t}=u_{xx}\, e procuramos o equilíbrio, a distribuição final no interior é a linha afim que conecta os valores de contorno; por isso sempre verifique se a solução é uma reta passando por (- , -5) em x=0 e (1,10) em x=1.
  • Dica rápida para lembrar na prova: para problemas estacionários com u_{xx}=0 e contornos fixos em x=0 e x=1, a solução é sempre v(x)=(u(1)-u(0))x+u(0). Aqui isso dá (10-(-5))x+(-5)=15x-5.

Resposta

u_{\text{est}}(x)=15x-5

Exercícios relacionados