Determine quais das seguintes aplicaçōes são transformações lineares:
.
Passo 1
O enunciado dá a aplicação
A pergunta é: “Essa aplicação é uma transformação linear?” (ou seja, determinar se
é linear). As informações relevantes são exatamente a expressão das duas componentes de
: a primeira é
— depende apenas de
— e a segunda é
.
Passo 2
O que significa ser transformação linear? Vou te ensinar certinho, passo a passo, porque isso cai direto na prova.
Definição: uma aplicação
entre espaços vetoriais é linear se, para quaisquer vetores
e qualquer escalar
, valem as duas propriedades:
Uma consequência muito prática e útil (que sempre gosto de usar em prova) é: se
é linear então necessariamente
porque pelo ponto de homogeneidade, tomando
,
para qualquer
. Ou seja, checar
é um teste rápido: se
, então
não pode ser linear.
Passo 3
Vamos aplicar esse teste rápido. Calcule
no vetor nulo
. Usando a definição de
:
Como
, obtemos
O vetor nulo em
é
. Como
, concluímos imediatamente que
não é linear. Esse é um contraexemplo global: um único caso onde a propriedade necessária
falha já elimina a linearidade.
Passo 4
Pra fixar bem o raciocínio (e te deixar seguro na prova), mostro também uma violação direta da aditividade com um exemplo concreto — é bom ter esse tipo de contraexemplo na manga:
Escolha
Calcule
,
e
.
Primeiro,
Em seguida,
Somando,
Agora
, então
que vimos antes. Como
a aditividade falha claramente para esses vetores — outro modo de ver que
não é linear.
Passo 5
Observação intuitiva (pra decorar e usar rápido na prova): a segunda componente
é linear em
(pois é combinação linear de
e
), mas a primeira componente
não é uma função linear de
(por exemplo, não satisfaz
nem
em geral). Basta que uma componente viole a linearidade para que a aplicação inteira deixe de ser linear.
Resposta
A aplicação não é uma transformação linear.