Determine quais das seguintes aplicaçōes são transformações lineares:
T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{2}, T(x, y, z)=(\cos (y), x+z).

Passo 1

O enunciado dá a aplicação
T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2,\qquad T(x,y,z)=(\cos(y),\,x+z).
A pergunta é: “Essa aplicação é uma transformação linear?” (ou seja, determinar se T é linear). As informações relevantes são exatamente a expressão das duas componentes de T: a primeira é \cos(y) — depende apenas de y — e a segunda é x+z.

Passo 2

O que significa ser transformação linear? Vou te ensinar certinho, passo a passo, porque isso cai direto na prova.
Definição: uma aplicação T:V\to W entre espaços vetoriais é linear se, para quaisquer vetores u,v\in V e qualquer escalar \alpha\in\mathbb{R}, valem as duas propriedades:
\text{(Aditividade)}\qquad T(u+v)=T(u)+T(v),
\text{(Homogeneidade)}\qquad T(\alpha u)=\alpha\,T(u).
Uma consequência muito prática e útil (que sempre gosto de usar em prova) é: se T é linear então necessariamente
T(0)=0,
porque pelo ponto de homogeneidade, tomando \alpha=0,
T(0)=T(0\cdot v)=0\cdot T(v)=0,
para qualquer v. Ou seja, checar T(0) é um teste rápido: se T(0)\neq 0, então T não pode ser linear.

Passo 3

Vamos aplicar esse teste rápido. Calcule T no vetor nulo (0,0,0). Usando a definição de T:
T(0,0,0)=\big(\cos(0),\,0+0\big).
Como \cos(0)=1, obtemos
T(0,0,0)=(1,0).
O vetor nulo em \mathbb{R}^2 é (0,0). Como T(0,0,0)=(1,0)\neq(0,0), concluímos imediatamente que T não é linear. Esse é um contraexemplo global: um único caso onde a propriedade necessária T(0)=0 falha já elimina a linearidade.

Passo 4

Pra fixar bem o raciocínio (e te deixar seguro na prova), mostro também uma violação direta da aditividade com um exemplo concreto — é bom ter esse tipo de contraexemplo na manga:
Escolha
u=(1,0,0),\qquad v=(-1,0,0).
Calcule T(u), T(v) e T(u+v).
Primeiro,
T(1,0,0)=\big(\cos(0),\,1+0\big)=(1,1).
Em seguida,
T(-1,0,0)=\big(\cos(0),\,-1+0\big)=(1,-1).
Somando,
T(1,0,0)+T(-1,0,0)=(1,1)+(1,-1)=(2,0).
Agora u+v=(0,0,0), então
T(u+v)=T(0,0,0)=(1,0),
que vimos antes. Como
T(u+v)=(1,0)\neq(2,0)=T(u)+T(v),
a aditividade falha claramente para esses vetores — outro modo de ver que T não é linear.

Passo 5

Observação intuitiva (pra decorar e usar rápido na prova): a segunda componente x+z é linear em (x,y,z) (pois é combinação linear de x e z), mas a primeira componente \cos(y) não é uma função linear de y (por exemplo, não satisfaz \cos(\alpha y)=\alpha\cos(y) nem \cos(y_1+y_2)=\cos(y_1)+\cos(y_2) em geral). Basta que uma componente viole a linearidade para que a aplicação inteira deixe de ser linear.

Resposta

A aplicação não é uma transformação linear.

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