Parametrize o paralelepípedo de vértices: \overrightarrow{0}, \vec{u}, \vec{v}, \vec{w}, \vec{u}+\vec{v}, \vec{u}+\vec{w}, \vec{v}+\vec{w}, \vec{u}+\vec{v}+\vec{w}, onde
O que se pede explicitamente: encontrar uma função vetorial (uma parametrização) \mathbf{r}(\cdot,\cdot,\cdot) que, ao variar os parâmetros num domínio conveniente, gere exatamente todos os pontos desse paralelepípedo.
Passo 2
Ideia básica (explicação didática): um paralelepípedo gerado pelos vetores \vec{u},\vec{v},\vec{w} com origem em \overrightarrow{0} é o conjunto de todos os pontos que podem ser escritos como combinação linear
s\vec{u}+t\vec{v}+\lambda\vec{w},
onde s,t,\lambda variam entre 0 e 1. Por que isso funciona? Porque:
Quando s,t,\lambda assumem valores em [0,1], a combinação s\vec{u}+t\vec{v}+\lambda\vec{w} fica dentro do “paralelogramo tridimensional” com arestas \vec{u},\vec{v},\vec{w}.
Os oito cantos do cubo unitário [0,1]^3 correspondem exatamente aos oito vértices do paralelepípedo (por exemplo, (1,0,0) mapeia para \vec{u}, (1,1,1) mapeia para \vec{u}+\vec{v}+\vec{w}, etc.).
Vou então tomar parâmetros \,s,t,\lambda\in[0,1]\, e definir a função vetorial pela combinação linear acima.
Passo 3
Calculemos explicitamente a combinação linear usando os componentes de \vec{u},\vec{v},\vec{w}. Escrevendo
Verificação de que essa parametrização realmente gera os vértices pedidos (avaliando nos oito cantos do cubo [0,1]^3):
\mathbf{r}(0,0,0)=(0,0,0)=\overrightarrow{0},
\mathbf{r}(1,0,0)=\vec{u}=(1,2,0),
\mathbf{r}(0,1,0)=\vec{v}=(3,7,0),
\mathbf{r}(0,0,1)=\vec{w}=(1,1,1),
\mathbf{r}(1,1,0)=\vec{u}+\vec{v},
\mathbf{r}(1,0,1)=\vec{u}+\vec{w},
\mathbf{r}(0,1,1)=\vec{v}+\vec{w},
\mathbf{r}(1,1,1)=\vec{u}+\vec{v}+\vec{w}.
Portanto a parametrização acerta todos os vértices conforme pedido.
Passo 5
Comentário sobre independência linear e volume (didático, útil na prova): é bom checar que \vec{u},\vec{v},\vec{w} não são coplanares (caso fossem, o “paralelepípedo” seria degenerado). Formamos a matriz com essas colunas:
Como o determinante é diferente de zero, os vetores são linearmente independentes e o paralelepípedo tem volume não nulo. Além disso, o valor absoluto do determinante, |\det A|=1, é exatamente o volume do paralelepípedo gerado por \vec{u},\vec{v},\vec{w}.]
Passo 6
Resumo final do procedimento (como você pode apresentar na prova): declarar os parâmetros, escrever a combinação linear e dar as coordenadas explicitamente. Lembre-se de mencionar o domínio dos parâmetros [0,1]^3.