Parametrize o paralelepípedo de vértices:
\overrightarrow{0}, \vec{u}, \vec{v}, \vec{w}, \vec{u}+\vec{v}, \vec{u}+\vec{w}, \vec{v}+\vec{w}, \vec{u}+\vec{v}+\vec{w}, onde
\vec{u}=(1,2,0), \quad \vec{v}=(3,7,0), \quad \vec{w}=(1,1,1) .

Passo 1

O enunciado pede para parametrizar o paralelepípedo cujos vértices são:
\overrightarrow{0}, \vec{u}, \vec{v}, \vec{w}, \vec{u}+\vec{v}, \vec{u}+\vec{w}, \vec{v}+\vec{w}, \vec{u}+\vec{v}+\vec{w}.
As informações dadas são as três direções/vetores:
\vec{u}=(1,2,0),\qquad \vec{v}=(3,7,0),\qquad \vec{w}=(1,1,1).
O que se pede explicitamente: encontrar uma função vetorial (uma parametrização) \mathbf{r}(\cdot,\cdot,\cdot) que, ao variar os parâmetros num domínio conveniente, gere exatamente todos os pontos desse paralelepípedo.

Passo 2

Ideia básica (explicação didática): um paralelepípedo gerado pelos vetores \vec{u},\vec{v},\vec{w} com origem em \overrightarrow{0} é o conjunto de todos os pontos que podem ser escritos como combinação linear
s\vec{u}+t\vec{v}+\lambda\vec{w},
onde s,t,\lambda variam entre 0 e 1. Por que isso funciona? Porque:
  • Quando s,t,\lambda assumem valores em [0,1], a combinação s\vec{u}+t\vec{v}+\lambda\vec{w} fica dentro do “paralelogramo tridimensional” com arestas \vec{u},\vec{v},\vec{w}.
  • Os oito cantos do cubo unitário [0,1]^3 correspondem exatamente aos oito vértices do paralelepípedo (por exemplo, (1,0,0) mapeia para \vec{u}, (1,1,1) mapeia para \vec{u}+\vec{v}+\vec{w}, etc.).
Vou então tomar parâmetros \,s,t,\lambda\in[0,1]\, e definir a função vetorial pela combinação linear acima.

Passo 3

Calculemos explicitamente a combinação linear usando os componentes de \vec{u},\vec{v},\vec{w}. Escrevendo
\mathbf{r}(s,t,\lambda)=s\vec{u}+t\vec{v}+\lambda\vec{w},
substituímos as componentes:
\mathbf{r}(s,t,\lambda)=s(1,2,0)+t(3,7,0)+\lambda(1,1,1).
Somando componente a componente obtemos a forma coordenada:
\mathbf{r}(s,t,\lambda)=\big(s+3t+\lambda,\;2s+7t+\lambda,\;\lambda\big).

Passo 4

Verificação de que essa parametrização realmente gera os vértices pedidos (avaliando nos oito cantos do cubo [0,1]^3):
\mathbf{r}(0,0,0)=(0,0,0)=\overrightarrow{0},
\mathbf{r}(1,0,0)=\vec{u}=(1,2,0),
\mathbf{r}(0,1,0)=\vec{v}=(3,7,0),
\mathbf{r}(0,0,1)=\vec{w}=(1,1,1),
\mathbf{r}(1,1,0)=\vec{u}+\vec{v},
\mathbf{r}(1,0,1)=\vec{u}+\vec{w},
\mathbf{r}(0,1,1)=\vec{v}+\vec{w},
\mathbf{r}(1,1,1)=\vec{u}+\vec{v}+\vec{w}.
Portanto a parametrização acerta todos os vértices conforme pedido.

Passo 5

Comentário sobre independência linear e volume (didático, útil na prova): é bom checar que \vec{u},\vec{v},\vec{w} não são coplanares (caso fossem, o “paralelepípedo” seria degenerado). Formamos a matriz com essas colunas:
A=\begin{pmatrix}1&3&1\\[4pt]2&7&1\\[4pt]0&0&1\end{pmatrix}.
O determinante é (expansão pela terceira linha)
\det A=\det\begin{pmatrix}1&3\\[2pt]2&7\end{pmatrix}=1\cdot7-3\cdot2=7-6=1\neq0.
Como o determinante é diferente de zero, os vetores são linearmente independentes e o paralelepípedo tem volume não nulo. Além disso, o valor absoluto do determinante, |\det A|=1, é exatamente o volume do paralelepípedo gerado por \vec{u},\vec{v},\vec{w}.]

Passo 6

Resumo final do procedimento (como você pode apresentar na prova): declarar os parâmetros, escrever a combinação linear e dar as coordenadas explicitamente. Lembre-se de mencionar o domínio dos parâmetros [0,1]^3.

Resposta

\mathbf{r}(s,t,\lambda)=s\vec{u}+t\vec{v}+\lambda\vec{w}=(s+3t+\lambda,\;2s+7t+\lambda,\;\lambda),\quad 0\le s,t,\lambda\le1.

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