Determine quais das seguintes aplicaçōes são transformações lineares:
T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{2}, T(x, y, z)=(z, x+2 y).

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a aplicação
T:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{2},\qquad T(x,y,z)=(z,\;x+2y)
é uma transformação linear.
Informações dadas:
\text{domínio: }\mathbb{R}^{3},\quad\text{contradomínio: }\mathbb{R}^{2},íí
\text{fórmula: }T(x,y,z)=(z,\;x+2y).ó
A pergunta única é: a aplicação T satisfaz as propriedades que definem uma transformação linear?

Passo 2

Definição (explicada devagar): uma aplicação T é linear se, para quaisquer vetores \mathbf{u},\mathbf{v}\in\mathbb{R}^{3} e qualquer escalar c\in\mathbb{R}, valem simultaneamente:
T(\mathbf{u}+\mathbf{v}) = T(\mathbf{u}) + T(\mathbf{v})
e
T(c\mathbf{u}) = c\,T(\mathbf{u}).
Significado: a linearidade exige que T preserve soma de vetores (aditividade) e multiplicação por escalar (homogeneidade). Vou checar as duas propriedades diretamente usando vetores gerais.

Passo 3

Sejam dois vetores genéricos
\mathbf{u}=(x_1,y_1,z_1),\qquad \mathbf{v}=(x_2,y_2,z_2).
Primeiro calculemos a soma:
\mathbf{u}+\mathbf{v}=(x_1+x_2,\;y_1+y_2,\;z_1+z_2).
Agora aplicamos T à soma (cada coordenada conforme a regra de T):
T(\mathbf{u}+\mathbf{v})=\big(z_1+z_2,\; (x_1+x_2)+2(y_1+y_2)\big).

Passo 4

Calculemos T(\mathbf{u}) e T(\mathbf{v}) separadamente e somemos:
T(\mathbf{u})=(z_1,\;x_1+2y_1),
T(\mathbf{v})=(z_2,\;x_2+2y_2).
Somando:
T(\mathbf{u})+T(\mathbf{v})=\big(z_1+z_2,\; (x_1+2y_1)+(x_2+2y_2)\big).
Rearranjando os termos da segunda coordenada:
(x_1+2y_1)+(x_2+2y_2)=(x_1+x_2)+2(y_1+y_2).
Portanto
T(\mathbf{u})+T(\mathbf{v})=\big(z_1+z_2,\; (x_1+x_2)+2(y_1+y_2)\big),
que é exatamente o resultado obtido em T(\mathbf{u}+\mathbf{v}). Conclusão parcial: T satisfaz a propriedade de aditividade.

Passo 5

Agora verifiquemos homogeneidade. Seja um escalar genérico c\in\mathbb{R} e um vetor \mathbf{u}=(x_1,y_1,z_1). Primeiro calcule c\mathbf{u}:
c\mathbf{u}=(cx_1,\;cy_1,\;cz_1).
Aplique T em c\mathbf{u}:
T(c\mathbf{u})=\big(cz_1,\;cx_1+2(cy_1)\big).
Fatorando c na segunda coordenada:
cx_1+2(cy_1)=c(x_1+2y_1).
Assim
T(c\mathbf{u})=\big(cz_1,\;c(x_1+2y_1)\big)=c\,(z_1,\;x_1+2y_1)=c\,T(\mathbf{u}).
Portanto T satisfaz a propriedade de homogeneidade.

Passo 6

Como T satisfaz tanto a aditividade quanto a homogeneidade para vetores e escalares arbitrários, T preserva soma e multiplicação por escalar — isso é exatamente o que define uma transformação linear. (Comentário extra útil: podemos também ver T como multiplicação por uma matriz 2\times3; a matriz que representa T na base canônica é
A=\begin{pmatrix}0 & 0 & 1 \\[4pt] 1 & 2 & 0\end{pmatrix},
pois A\,(x,y,z)^T=(z,\;x+2y)^T. Qualquer aplicação dada por multiplicação por matriz é linear.)]

Resposta

\,T é transformação linear.

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