Determine quais das seguintes aplicaçōes são transformações lineares:
.
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a aplicação
é uma transformação linear.
Informações dadas:
Informações dadas:
A pergunta única é: a aplicação
satisfaz as propriedades que definem uma transformação linear?
Passo 2
Definição (explicada devagar): uma aplicação
é linear se, para quaisquer vetores
e qualquer escalar
, valem simultaneamente:
e
Significado: a linearidade exige que
preserve soma de vetores (aditividade) e multiplicação por escalar (homogeneidade). Vou checar as duas propriedades diretamente usando vetores gerais.
Passo 3
Sejam dois vetores genéricos
Primeiro calculemos a soma:
Agora aplicamos
à soma (cada coordenada conforme a regra de
):
Passo 4
Calculemos
e
separadamente e somemos:
Somando:
Rearranjando os termos da segunda coordenada:
Portanto
que é exatamente o resultado obtido em
. Conclusão parcial:
satisfaz a propriedade de aditividade.
Passo 5
Agora verifiquemos homogeneidade. Seja um escalar genérico
e um vetor
. Primeiro calcule
:
Aplique
em
:
Fatorando
na segunda coordenada:
Assim
Portanto
satisfaz a propriedade de homogeneidade.
Passo 6
Como
satisfaz tanto a aditividade quanto a homogeneidade para vetores e escalares arbitrários,
preserva soma e multiplicação por escalar — isso é exatamente o que define uma transformação linear. (Comentário extra útil: podemos também ver
como multiplicação por uma matriz
; a matriz que representa
na base canônica é
pois
. Qualquer aplicação dada por multiplicação por matriz é linear.)]