Determine a área da região do plano limitado simultaneamente pelas curvas:
(a) y=ln x, x=2 e o eixo x.
(e) y=2 x, y=1 e y=2x.
(b) x=8+2 y, y=1 e x=0.
(f) y=x^3-3 x e y=2 x^2.
(c) x y=4 e x+y=5.
(g) y=x^3 e y=x^2+2 x.
(d) y=2^x, y=2 x-x^2, x=0 e x=2.
(h) y=9x, y=9 x e y=x.

Passo 1

O enunciado pede a área de oito regiões distintas definidas por curvas no plano. Para cada item, vamos:
  1. Identificar as interseções das curvas que delimitam a região.
  2. Determinar qual função está acima (ou à direita) da outra.
  3. Calcular a área via integral de diferença de funções (ou de abscissas) no intervalo adequado.

Passo 2

(a) Região limitada por y=ln x, x=2 e o eixo x ( y=0).
Interseção de ln x=0 em x=1.
Aa = integral1^2 ln x,dx
Como integral ln x,dx = xln x - x, temos
Aa = l[xln x - xr]1^2 = (2ln2 -2) - (1cdot0 -1) =2ln2 -1

Passo 3

(b) Região por x=8+2y, y=1 e x=0.
Vértices: (0,1), (0,-4), (10,1).
Usando integração em y:
Ab = integraly=-4^1 (xrm dir - xrm esq),dy = integral-4^1 (8+2y),dy = [8y + y^2]-4^1 =9 -(-16) =25

Passo 4

(c) Região entre xy=4 ( y=4/x) e x+y=5 ( y=5-x), de x=1 a 4.
A curva superior é y=5-x, a inferior y=4/x:
Ac = integral1^4l[(5-x)-tfrac4xr],dx = l[5x - tfracx^22 - 4ln xr]1^4 =7,5 ;-;8ln2

Passo 5

(d) Região por y=2^x, y=2x - x^2, x=0, x=2. Em [0,2], 2^x está acima:
Ad = integral0^2l(2^x - (2x - x^2)r),dx = l[tfrac2^xln2r]0^2 - l[x^2 - tfracx^33r]0^2 = tfrac3ln2 - tfrac43

Passo 6

(e) Região por y=2x, y=1, y=tfrac2x. Pontos de interseção em x=tfrac12,1,2.
Para xin[tfrac12,1]: de y=1 a y=2/x.
Para xin[1,2]: de y=1 a y=2x.
Ae = integraltfrac12^1l(tfrac2x-1r),dx + integral1^2(2x-1),dx = 2ln2 + tfrac32

Passo 7

(f) Região entre y=x^3-3x e y=2x^2, com interseções em x=-1,0,3.
Para xin[-1,0]: x^3-3x acima.
Para xin[0,3]: 2x^2 acima.
Af = integral-1^0l((x^3-3x)-2x^2r),dx + integral0^3l(2x^2-(x^3-3x)r),dx = tfrac716

Passo 8

(g) Região entre y=x^3 e y=x^2+2x, interseções em x=-1,0,2.
Para xin[-1,0]: x^3 acima.
Para xin[0,2]: x^2+2x acima.
Ag = integral-1^0l(x^3-(x^2+2x)r),dx + integral0^2l((x^2+2x)-x^3r),dx = tfrac3712

Passo 9

(h) Região por y=tfrac9x, y=9x, y=x.
Interseções em x=0,1,3.
De 0 a 1: entre 9x e x.
De 1 a 3: entre tfrac9x e x.
Ah = integral0^1(9x - x),dx + integral1^3l(tfrac9x-xr),dx =9ln3

Resposta

(a) 2ln2 -1
(b) 25
(c) 7,5 -8ln2
(d) tfrac3ln2 - tfrac43
(e) 2ln2 + tfrac32
(f) tfrac716
(g) tfrac3712
(h) 9ln3

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