Determine a área da região do plano limitado simultaneamente pelas curvas:
(a)
e o eixo
.
(e)
e
.
(b)
e
.
(f)
e
.
(c)
e
.
(g)
e
.
(d)
e
.
(h)
e
.
(a)
(e)
(b)
(f)
(c)
(g)
(d)
(h)
Passo 1
O enunciado pede a área de oito regiões distintas definidas por curvas no plano. Para cada item, vamos:
- Identificar as interseções das curvas que delimitam a região.
- Determinar qual função está acima (ou à direita) da outra.
- Calcular a área via integral de diferença de funções (ou de abscissas) no intervalo adequado.
Passo 2
(a) Região limitada por
,
e o eixo
(
).
Interseção de em
.
Interseção de
Como
, temos
Passo 3
(b) Região por
,
e
.
Vértices: ,
,
.
Usando integração em :
Vértices:
Usando integração em
Passo 4
(c) Região entre
(
) e
(
), de
a
.
A curva superior é , a inferior
:
A curva superior é
Passo 5
(d) Região por
,
,
,
. Em
,
está acima:
Passo 6
(e) Região por
,
,
. Pontos de interseção em
.
Para : de
a
.
Para : de
a
.
Para
Para
Passo 7
(f) Região entre
e
, com interseções em
.
Para :
acima.
Para :
acima.
Para
Para
Passo 8
(g) Região entre
e
, interseções em
.
Para :
acima.
Para :
acima.
Para
Para
Passo 9
(h) Região por
,
,
.
Interseções em .
De a
: entre
e
.
De a
: entre
e
.
Interseções em
De
De
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)