Determine k, nos seguintes casos, de acordo com o que se pede.
De modo que o sistema linear homogêneo
\left\{\begin{aligned} 2 x_{1}-5 x_{2}+3 x_{3}= & 0 \\\ x_{1}+x_{2}+x_{3}= & 0 \\\\ 2 x_{1}+k x_{3}= & 0 \end{aligned}\right.
tenha uma solução distinta da solução trivial.

Passo 1

O enunciado fornece o sistema homogêneo
\begin{cases} 2x_{1}-5x_{2}+3x_{3}=0,\\\ x_{1}+x_{2}+x_{3}=0,\\\\ 2x_{1}+k\,x_{3}=0, \end{cases}
e pede o valor de k para que exista solução não trivial. Em Álgebra Linear, isso ocorre se e somente se a matriz de coeficientes for singular, ou seja, tiver determinante zero.

Passo 2

Escrevemos a matriz de coeficientes:
A=\begin{pmatrix} 2 & -5 & 3\\\\ 1 & 1 & 1\\\\ 2 & 0 & k \end{pmatrix}.
Para que o sistema tenha solução distinta da trivial, é necessário que
\det(A)=0.

Passo 3

Calculamos \det(A) por expansão na primeira linha:
\det(A) =2\begin{vmatrix}1 & 1\\\ 0 & k\end{vmatrix} -(-5)\begin{vmatrix}1 & 1\\\ 2 & k\end{vmatrix} +3\begin{vmatrix}1 & 1\\\ 2 & 0\end{vmatrix}.
Cada menor vale
\begin{vmatrix}1 & 1\\\ 0 & k\end{vmatrix}=1\cdot k -1\cdot0 = k, \quad \begin{vmatrix}1 & 1\\\ 2 & k\end{vmatrix}=1\cdot k -1\cdot2 = k-2, \quad \begin{vmatrix}1 & 1\\\ 2 & 0\end{vmatrix}=1\cdot0 -1\cdot2 = -2.
Substituindo,
\det(A)=2k +5(k-2)+3(-2) =2k +5k -10 -6 =7k -16.

Passo 4

Impondo \det(A)=0, obtemos
7k -16 = 0 \quad\Longrightarrow\quad k = \tfrac{16}{7}.

Resposta

k = \tfrac{16}{7}.

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