Considere o sistema linear \left\{\begin{aligned} a x+b y= & e \\\ c x+d y= & f\end{aligned}\right. Mostre que:
(a) se a d-b c \neq 0, então o sistema tem uma única solução, dada por
(b) se a d-b c=0 e \frac{a}{c}=\frac{b}{d} \neq \frac{e}{f}, então o sistema não tem solução.
(c) se a d-b c=0 e \frac{a}{c}=\frac{b}{d}=\frac{e}{f}, então o sistema tem infinitas soluções.
Passo 1
O enunciado trata de um sistema linear 2\times 2\)
\[\begin{cases} a x + b y = e,\\\ c x + d y = f, \end{cases}
e pede para classificá-lo segundo o valor do determinante (ad - bc]. Vamos usar álgebra elementar e a regra de Cramer para resolver e, em seguida, estudar os casos degenerados em que não há solução única.
Passo 2
Definimos o determinante
\Delta = a d - b c.
Se \Delta \neq 0, o sistema admite solução única e podemos aplicar a regra de Cramer. Substituímos na primeira equação a coluna (a,c) por (e,f) para achar x, e na segunda coluna (b,d) por (e,f) para achar y. Isso dá
x = \frac{\begin{vmatrix}e & b \\\ f & d\end{vmatrix}}{\Delta} = \frac{d\,e - b\,f}{a d - b c},
y = \frac{\begin{vmatrix}a & e \\\ c & f\end{vmatrix}}{\Delta} = \frac{a\,f - c\,e}{a d - b c}.
Passo 3
Agora suponha que \Delta = 0, ou seja
a d - b c = 0.
Nesse caso as duas equações representam retas paralelas ou coincidentes. De fato, se c\neq0 e d\neq0, a igualdade a d = b c implica
\frac{a}{c} = \frac{b}{d},
isto é, as retas têm o mesmo coeficiente angular.
Passo 4
Se além de \Delta=0 tivermos
\frac{a}{c} = \frac{b}{d} \neq \frac{e}{f},
significa que as retas são paralelas mas têm interceptos diferentes. Então não há ponto de interseção comum e o sistema não tem solução.
Passo 5
Se finalmente
\frac{a}{c} = \frac{b}{d} = \frac{e}{f},
as duas equações são múltiplos uma da outra, representam a mesma reta e, portanto, existem infinitas soluções (qualquer ponto dessa reta satisfaz ambas).
Resposta
(a) Se a d - b c \neq 0, há solução única
x = \frac{d e - b f}{a d - b c}, \quad y = \frac{a f - c e}{a d - b c}.
(b) Se a d - b c = 0 e \tfrac{a}{c} = \tfrac{b}{d} \neq \tfrac{e}{f}, não há solução.
(c) Se a d - b c = 0 e \tfrac{a}{c} = \tfrac{b}{d} = \tfrac{e}{f}, há infinitas soluções.