Determine os valores reais de k, em cada um dos casos, tais que o sistema linear dado tenha:
\left\{\begin{aligned} k x+y+z & =1 \\\ x+k y+z & =1, \\\ x+y+k z & =1\end{aligned}\right.

Passo 1

Temos o sistema
\begin{cases} k x + y + z = 1,\\\ x + k y + z = 1,\\\ x + y + k z = 1.
O conteúdo aqui é a teoria de sistemas lineares: para classificar o número de soluções usamos o determinante da matriz dos coeficientes e a consistência.

Passo 2

Formamos a matriz dos coeficientes
A = \begin{pmatrix} k & 1 & 1\\\\ 1 & k & 1\\\\ 1 & 1 & k \end{pmatrix}
e calculamos seu determinante por expansão na primeira linha:
\det(A) = k\det\!\begin{pmatrix}k&1\\\ 1&k\end{pmatrix} -1\det\!\begin{pmatrix}1&1\\\ 1&k\end{pmatrix} +1\det\!\begin{pmatrix}1&k\\\ 1&1\end{pmatrix}
= k(k^2-1)-(k-1)+(1-k) = k^3- k - k +1 +1 -k = k^3-3k+2 = (k-1)^2(k+2).

Passo 3

Para saber quando a matriz deixa de ser invertível, resolvemos
\det(A)=0 \;\Longrightarrow\; (k-1)^2(k+2)=0 \;\Longrightarrow\; k=1\text{ ou }k=-2.

Passo 4

Se k\neq1 e k\neq-2, então \det(A)\neq0, a matriz é invertível e o sistema tem exatamente uma solução.

Passo 5

Para k=1\), o sistema fica \[\begin{cases} x+y+z=1,\\\ x+y+z=1,\\\ x+y+z=1, \end{cases}
todas as equações coincidem com (x+y+z=1]. O sistema é compatível indeterminado e tem infinitas soluções.

Passo 6

Para k=-2, o sistema é
\begin{cases} -2x+y+z=1,\\\ x-2y+z=1,\\\ x+y-2z=1. \end{cases}
Somando as três equações, obtemos
(-2+1+1)x+(1-2+1)y+(1+1-2)z =1+1+1 \;\Longrightarrow\; 0=3,
que é impossível. Logo, o sistema é incompatível e não tem solução.

Resposta

Única solução se k\neq1 e k\neq-2.
Infinitas soluções se k=1.
Nenhuma solução se k=-2.

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