Determine se os seguintes conjuntos são coberturas de \mathbb{R}^{2} :
(d) \left\{\binom{-1}{2},\binom{1}{-2},\binom{2}{-4}\right\}

Passo 1

O enunciado pede para determinar se o conjunto
\left\{\binom{-1}{2},\binom{1}{-2},\binom{2}{-4}\right\}
é uma cobertura de \mathbb{R}^{2}; isto é, se qualquer vetor \binom{x}{y}\in\mathbb{R}^{2} pode ser escrito como combinação linear dos vetores dados. As informações fornecidas são exatamente esses três vetores em \mathbb{R}^{2}.

Passo 2

Primeiro, vou explicar o que significa “cobertura” (span) de forma prática.
  • Definição: um conjunto de vetores S\subset\mathbb{R}^{2} é uma cobertura de \mathbb{R}^{2} se para todo vetor \binom{x}{y}\in\mathbb{R}^{2} existem escalares a,b,c\in\mathbb{R} tais que
a v_1 + b v_2 + c v_3 = \binom{x}{y},
onde v_1,v_2,v_3 são os vetores de S.
  • Intuição: em \mathbb{R}^{2} é preciso ter (pelo menos) dois vetores linearmente independentes para gerar todo o plano. Se todos os vetores estiverem colineares (todos múltiplos de um mesmo vetor), então eles só geram uma reta (subespaço de dimensão 1), não o plano inteiro.

Passo 3

Vou verificar relações simples entre os vetores dados. Note que
\binom{2}{-4} = 2\binom{1}{-2}
e
\binom{-1}{2} = -1\binom{1}{-2}.
Essas igualdades mostram que os três vetores são múltiplos escalares do vetor \binom{1}{-2}. Portanto todos estão na mesma reta através da origem (são colineares).

Passo 4

Agora escrevo uma combinação linear genérica dos três vetores e mostro que ela reduz a um só parâmetro. Se a,b,c\in\mathbb{R} então
a\binom{-1}{2} + b\binom{1}{-2} + c\binom{2}{-4} = a\big(-1\big)\binom{1}{-2} + b\binom{1}{-2} + c\big(2\big)\binom{1}{-2}.
Agrupando os coeficientes,
a\binom{-1}{2} + b\binom{1}{-2} + c\binom{2}{-4} = \big(-a + b + 2c\big)\binom{1}{-2}.
Isso mostra que qualquer combinação linear dos três vetores é simplesmente um múltiplo do vetor \binom{1}{-2}. Logo o espaço gerado por eles é
\mathrm{span}\left\{\binom{-1}{2},\binom{1}{-2},\binom{2}{-4}\right\} = \{t\binom{1}{-2} : t\in\mathbb{R}\},
que é uma reta passando pela origem (subespaço de dimensão 1).

Passo 5

Para completar a ideia, apresento um exemplo concreto de um vetor de \mathbb{R}^{2} que não pode ser escrito como múltiplo de \binom{1}{-2}. Tome \binom{0}{1}. Se existisse t\in\mathbb{R} tal que
t\binom{1}{-2} = \binom{0}{1},
então pelas coordenadas teríamos t=0 (da primeira coordenada) e -2t=1 (da segunda coordenada) simultaneamente, o que é impossível. Portanto \binom{0}{1}\notin\mathrm{span}\{\dots\}.

Passo 6

Como os vetores geram apenas uma reta (dimensão 1) e existe pelo menos um vetor em \mathbb{R}^{2} que não pode ser obtido como combinação linear deles, o conjunto não gera todo \mathbb{R}^{2}.

Resposta

Não, não é uma cobertura de \mathbb{R}^{2}.

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