Determine se os seguintes conjuntos são coberturas de
:
(d)
(d)
Passo 1
O enunciado pede para determinar se o conjunto
é uma cobertura de
; isto é, se qualquer vetor
pode ser escrito como combinação linear dos vetores dados. As informações fornecidas são exatamente esses três vetores em
.
Passo 2
Primeiro, vou explicar o que significa “cobertura” (span) de forma prática.
- Definição: um conjunto de vetores
é uma cobertura de se para todo vetor existem escalares tais que
onde
são os vetores de
.
- Intuição: em
é preciso ter (pelo menos) dois vetores linearmente independentes para gerar todo o plano. Se todos os vetores estiverem colineares (todos múltiplos de um mesmo vetor), então eles só geram uma reta (subespaço de dimensão 1), não o plano inteiro.
Passo 3
Vou verificar relações simples entre os vetores dados. Note que
e
Essas igualdades mostram que os três vetores são múltiplos escalares do vetor
. Portanto todos estão na mesma reta através da origem (são colineares).
Passo 4
Agora escrevo uma combinação linear genérica dos três vetores e mostro que ela reduz a um só parâmetro. Se
então
Agrupando os coeficientes,
Isso mostra que qualquer combinação linear dos três vetores é simplesmente um múltiplo do vetor
. Logo o espaço gerado por eles é
que é uma reta passando pela origem (subespaço de dimensão
).
Passo 5
Para completar a ideia, apresento um exemplo concreto de um vetor de
que não pode ser escrito como múltiplo de
. Tome
. Se existisse
tal que
então pelas coordenadas teríamos
(da primeira coordenada) e
(da segunda coordenada) simultaneamente, o que é impossível. Portanto
.
Passo 6
Como os vetores geram apenas uma reta (dimensão
) e existe pelo menos um vetor em
que não pode ser obtido como combinação linear deles, o conjunto não gera todo
.
Resposta
Não, não é uma cobertura de
.