Os vetores são \;v_{1}=(1,0,0)^{T},\;v_{2}=(0,1,1)^{T},\;v_{3}=(1,0,1)^{T}.
A pergunta específica: este conjunto é uma cobertura de \mathbb{R}^{3}? (ou seja, todo vetor (x,y,z)^{T}\in\mathbb{R}^{3} pode ser escrito como combinação linear desses vetores?)
Passo 2
Definição e ideia para testar (explicação didática).
Um conjunto de vetores é uma cobertura (ou conjunto gerador) de \mathbb{R}^{3} quando qualquer vetor arbitrário (x,y,z)^{T} pode ser escrito como combinação linear dos vetores do conjunto.
Em símbolos: precisamos verificar se, para todo (x,y,z)^{T}\in\mathbb{R}^{3}, existem escalares \alpha,\beta,\gamma\in\mathbb{R} tais que
Método prático (método básico): escrever essa igualdade por coordenadas e resolver o sistema para \alpha,\beta,\gamma. Se sempre existir solução para quaisquer x,y,z, então o conjunto gera \mathbb{R}^{3}.
Passo 3
Montando a equação e transformando em sistema.
Escrevendo a combinação linear pedida:
Expliquei cada linha: primeira é coordenada x, segunda a y, terceira a z.]
Passo 4
Resolvendo o sistema (passo a passo, sem pular etapas).
Da segunda equação obtemos diretamente
\beta = y.
Isso foi simples: a coordenada y é dada pelo coeficiente \beta.
Substituindo \beta na terceira equação:
\beta+\gamma = z \quad\Rightarrow\quad y+\gamma = z.
Logo
\gamma = z-y.
Finalmente, substituindo \gamma na primeira equação:
\alpha+\gamma = x \quad\Rightarrow\quad \alpha = x-\gamma = x-(z-y).
Simplificando,
\alpha = x - z + y.
Conclusão desta resolução: para quaisquer valores x,y,z escolhidos, podemos escolher os escalares
\alpha = x - z + y,\qquad \beta = y,\qquad \gamma = z - y,
que satisfazem a combinação linear. Portanto sempre existe solução.
Passo 5
Interpretação e conclusão do método direto.
Como para um vetor arbitrário (x,y,z)^{T} encontrei sempre \alpha,\beta,\gamma reais que o escrevem como combinação linear de v_{1},v_{2},v_{3}, segue que o conjunto gera (cobre) todo \mathbb{R}^{3}.
Em outras palavras, \operatorname{span}\{v_{1},v_{2},v_{3}\}=\mathbb{R}^{3}.
Passo 6
Argumento alternativo (útil para a prova): verificação por determinante / independência linear.
Um determinante não nulo significa que as colunas são linearmente independentes e, sendo três vetores independentes em \mathbb{R}^{3}, formam uma base de \mathbb{R}^{3}. Assim também se conclui que o conjunto gera todo \mathbb{R}^{3}.]
Resposta
Sim. \{(1,0,0)^{T},(0,1,1)^{T},(1,0,1)^{T}\} é uma cobertura de \mathbb{R}^{3}.