Quais dos seguintes conjuntos são coberturas para \mathbb{R}^{3} ? Justifique suas respostas.
(a) \left\{(1,0,0)^{T},(0,1,1)^{T},(1,0,1)^{T}\right\}

Passo 1

O enunciado pergunta se o conjunto abaixo é uma cobertura (isto é, gera todo o espaço) de \mathbb{R}^{3}:
\left\{(1,0,0)^{T},\;(0,1,1)^{T},\;(1,0,1)^{T}\right\}.
Informações dadas:
  • Os vetores são \;v_{1}=(1,0,0)^{T},\;v_{2}=(0,1,1)^{T},\;v_{3}=(1,0,1)^{T}.
  • A pergunta específica: este conjunto é uma cobertura de \mathbb{R}^{3}? (ou seja, todo vetor (x,y,z)^{T}\in\mathbb{R}^{3} pode ser escrito como combinação linear desses vetores?)

Passo 2

Definição e ideia para testar (explicação didática).
  • Um conjunto de vetores é uma cobertura (ou conjunto gerador) de \mathbb{R}^{3} quando qualquer vetor arbitrário (x,y,z)^{T} pode ser escrito como combinação linear dos vetores do conjunto.
  • Em símbolos: precisamos verificar se, para todo (x,y,z)^{T}\in\mathbb{R}^{3}, existem escalares \alpha,\beta,\gamma\in\mathbb{R} tais que
\alpha v_{1}+\beta v_{2}+\gamma v_{3}=(x,y,z)^{T}.
  • Método prático (método básico): escrever essa igualdade por coordenadas e resolver o sistema para \alpha,\beta,\gamma. Se sempre existir solução para quaisquer x,y,z, então o conjunto gera \mathbb{R}^{3}.

Passo 3

Montando a equação e transformando em sistema.
Escrevendo a combinação linear pedida:
\alpha(1,0,0)^{T}+\beta(0,1,1)^{T}+\gamma(1,0,1)^{T}=(x,y,z)^{T}.
Agora igualamos coordenada a coordenada para obter três equações:
\begin{cases} \alpha+\gamma = x,\\[4pt] \beta = y,\\[4pt] \beta+\gamma = z. \end{cases}
Expliquei cada linha: primeira é coordenada x, segunda a y, terceira a z.]

Passo 4

Resolvendo o sistema (passo a passo, sem pular etapas).
  • Da segunda equação obtemos diretamente
\beta = y.
Isso foi simples: a coordenada y é dada pelo coeficiente \beta.
  • Substituindo \beta na terceira equação:
\beta+\gamma = z \quad\Rightarrow\quad y+\gamma = z.
Logo
\gamma = z-y.
  • Finalmente, substituindo \gamma na primeira equação:
\alpha+\gamma = x \quad\Rightarrow\quad \alpha = x-\gamma = x-(z-y).
Simplificando,
\alpha = x - z + y.
  • Conclusão desta resolução: para quaisquer valores x,y,z escolhidos, podemos escolher os escalares
\alpha = x - z + y,\qquad \beta = y,\qquad \gamma = z - y,
que satisfazem a combinação linear. Portanto sempre existe solução.

Passo 5

Interpretação e conclusão do método direto.
  • Como para um vetor arbitrário (x,y,z)^{T} encontrei sempre \alpha,\beta,\gamma reais que o escrevem como combinação linear de v_{1},v_{2},v_{3}, segue que o conjunto gera (cobre) todo \mathbb{R}^{3}.
  • Em outras palavras, \operatorname{span}\{v_{1},v_{2},v_{3}\}=\mathbb{R}^{3}.

Passo 6

Argumento alternativo (útil para a prova): verificação por determinante / independência linear.
  • Colocando os vetores como colunas da matriz A:
A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1\\[4pt] 0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}.
  • Calcular o determinante (expansão por co-fatores na primeira linha é suficiente):
\det(A)=1\cdot\det\begin{pmatrix}1&0\\[4pt]1&1\end{pmatrix}-0+\;1\cdot\det\begin{pmatrix}0&1\\[4pt]0&1\end{pmatrix}.
  • Avaliando os menores:
\det\begin{pmatrix}1&0\\[4pt]1&1\end{pmatrix}=1\cdot1-0\cdot1=1, \qquad \det\begin{pmatrix}0&1\\[4pt]0&1\end{pmatrix}=0\cdot1-1\cdot0=0.
Logo
\det(A)=1+0=1\neq 0.
  • Um determinante não nulo significa que as colunas são linearmente independentes e, sendo três vetores independentes em \mathbb{R}^{3}, formam uma base de \mathbb{R}^{3}. Assim também se conclui que o conjunto gera todo \mathbb{R}^{3}.]

Resposta

Sim. \{(1,0,0)^{T},(0,1,1)^{T},(1,0,1)^{T}\} é uma cobertura de \mathbb{R}^{3}.

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