Quais dos seguintes conjuntos são coberturas para \mathbb{R}^{3} ? Justifique suas respostas.
(c) \left\{(2,1,-2)^{T},(3,2,-2)^{T},(2,2,0)^{T}\right\}

Passo 1

O enunciado fornece o conjunto de três vetores em \mathbb{R}^{3}:
v_{1}=\begin{pmatrix}2\\[4pt]1\\[4pt]-2\end{pmatrix},\qquad v_{2}=\begin{pmatrix}3\\[4pt]2\\[4pt]-2\end{pmatrix},\qquad v_{3}=\begin{pmatrix}2\\[4pt]2\\[4pt]0\end{pmatrix}.
A pergunta é: isso é uma cobertura (isto é, um conjunto gerador) para \mathbb{R}^{3}? É preciso justificar a resposta.]

Passo 2

O que significa “cobertura” aqui (explicação didática): um conjunto de vetores é uma cobertura de \mathbb{R}^{3} quando qualquer vetor x\in\mathbb{R}^{3} pode ser escrito como combinação linear dos vetores do conjunto. Em símbolos: o conjunto \{v_{1},v_{2},v_{3}\} gera \mathbb{R}^{3} se, para todo x\in\mathbb{R}^{3}, existem escalares a,b,c\in\mathbb{R} tais que
x = a v_{1} + b v_{2} + c v_{3}.
Dica prática que usamos na prova: em \mathbb{R}^{3} um conjunto de três vetores gera todo \mathbb{R}^{3} se e somente se esses vetores forem linearmente independentes (então formam uma base). Uma forma eficiente de verificar independência para três vetores é montar a matriz cujas colunas são esses vetores e calcular o determinante: determinante diferente de zero implica independência e, portanto, cobertura; determinante igual a zero implica dependência linear e então não há cobertura.

Passo 3

Construção da matriz cujas colunas são v_{1},v_{2},v_{3}:
A=\begin{pmatrix} 2 & 3 & 2\\[4pt] 1 & 2 & 2\\[4pt] -2 & -2 & 0 \end{pmatrix}.
Vamos calcular \det(A). Se \det(A)\neq 0 então os vetores geram \mathbb{R}^{3}; se \det(A)=0 então não geram.]

Passo 4

Cálculo do determinante por expansão pela primeira linha (mostrando cada passo):
\det(A) =2\cdot\det\begin{pmatrix}2 & 2\\[4pt]-2 & 0\end{pmatrix} -3\cdot\det\begin{pmatrix}1 & 2\\[4pt]-2 & 0\end{pmatrix} +2\cdot\det\begin{pmatrix}1 & 2\\[4pt]-2 & -2\end{pmatrix}.
Agora cada determinante 2\times2:
\det\begin{pmatrix}2 & 2\\[4pt]-2 & 0\end{pmatrix}=2\cdot0-2\cdot(-2)=4,
\det\begin{pmatrix}1 & 2\\[4pt]-2 & 0\end{pmatrix}=1\cdot0-2\cdot(-2)=4,
\det\begin{pmatrix}1 & 2\\[4pt]-2 & -2\end{pmatrix}=1\cdot(-2)-2\cdot(-2)=-2+4=2.
Substituindo:
\det(A)=2\cdot4-3\cdot4+2\cdot2=8-12+4=0.]

Passo 5

Interpretação do resultado: \det(A)=0 implica que v_{1},v_{2},v_{3} são linearmente dependentes. Logo eles não podem gerar todo \mathbb{R}^{3}; no máximo geram um subespaço próprio (uma reta ou um plano).

Passo 6

Para ficar bem concreto — e útil para a prova — vamos encontrar explicitamente uma relação de dependência linear não trivial. Procuramos escalares \alpha,\beta,\gamma\), não todos zero, tais que \[\alpha v_{1}+\beta v_{2}+\gamma v_{3}=0.
Escrevendo coordenada a coordenada:
\begin{cases} 2\alpha+3\beta+2\gamma=0,\\[4pt] \alpha+2\beta+2\gamma=0,\\[4pt] -2\alpha-2\beta+0\gamma=0. \end{cases}
Da terceira equação vem -2\alpha-2\beta=0\], isto é \(\alpha+\beta=0, logo \alpha=-\beta.
Substituindo na segunda equação:
-\beta+2\beta+2\gamma=0 \quad\Rightarrow\quad \beta+2\gamma=0 \quad\Rightarrow\quad \beta=-2\gamma.
Assim \alpha=-\beta=2\gamma. Tomando \gamma=1 (qualquer escala não nula serve), obtemos \alpha=2, \beta=-2, \gamma=1. Verificação rápida:
2v_{1}-2v_{2}+1v_{3}=0,
ou seja,
2\begin{pmatrix}2\\\ 1\\\ -2\end{pmatrix}-2\begin{pmatrix}3\\\ 2\\\ -2\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}2\\\ 2\\\ 0\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}.
Isso mostra explicitamente a dependência linear.]

Passo 7

Conclusão final e interpretação prática para a prova: os três vetores são linearmente dependentes (determinante zero e relação de dependência encontrada), portanto não geram \mathbb{R}^{3}. Eles geram apenas um plano (dimensão 2) em \mathbb{R}^{3}. Logo o conjunto dado não é uma cobertura de \mathbb{R}^{3}.

Resposta

Não — os vetores são linearmente dependentes (por exemplo 2v_{1}-2v_{2}+v_{3}=0), logo não geram \mathbb{R}^{3}.

Exercícios relacionados