A pergunta é: isso é uma cobertura (isto é, um conjunto gerador) para \mathbb{R}^{3}? É preciso justificar a resposta.]
Passo 2
O que significa “cobertura” aqui (explicação didática): um conjunto de vetores é uma cobertura de \mathbb{R}^{3} quando qualquer vetor x\in\mathbb{R}^{3} pode ser escrito como combinação linear dos vetores do conjunto. Em símbolos: o conjunto \{v_{1},v_{2},v_{3}\} gera \mathbb{R}^{3} se, para todo x\in\mathbb{R}^{3}, existem escalares a,b,c\in\mathbb{R} tais que
x = a v_{1} + b v_{2} + c v_{3}.
Dica prática que usamos na prova: em \mathbb{R}^{3} um conjunto de três vetores gera todo \mathbb{R}^{3} se e somente se esses vetores forem linearmente independentes (então formam uma base). Uma forma eficiente de verificar independência para três vetores é montar a matriz cujas colunas são esses vetores e calcular o determinante: determinante diferente de zero implica independência e, portanto, cobertura; determinante igual a zero implica dependência linear e então não há cobertura.
Passo 3
Construção da matriz cujas colunas são v_{1},v_{2},v_{3}:
Interpretação do resultado: \det(A)=0 implica que v_{1},v_{2},v_{3} são linearmente dependentes. Logo eles não podem gerar todo \mathbb{R}^{3}; no máximo geram um subespaço próprio (uma reta ou um plano).
Passo 6
Para ficar bem concreto — e útil para a prova — vamos encontrar explicitamente uma relação de dependência linear não trivial. Procuramos escalares \alpha,\beta,\gamma\), não todos zero, tais que
\[\alpha v_{1}+\beta v_{2}+\gamma v_{3}=0.
Conclusão final e interpretação prática para a prova: os três vetores são linearmente dependentes (determinante zero e relação de dependência encontrada), portanto não geram \mathbb{R}^{3}. Eles geram apenas um plano (dimensão 2) em \mathbb{R}^{3}. Logo o conjunto dado não é uma cobertura de \mathbb{R}^{3}.
Resposta
Não — os vetores são linearmente dependentes (por exemplo 2v_{1}-2v_{2}+v_{3}=0), logo não geram \mathbb{R}^{3}.