Determine se os seguintes conjuntos são subespaços de
mathbb{R}^{3}.
W_{3}:=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3}: 3 x-y+2 z=0\right\}.

Passo 1

O enunciado dá o conjunto
W_{3}:=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}:3x-y+2z=0\}.
O que o problema pede: determinar se W_{3} é um subespaço de \mathbb{R}^{3}.
Informações relevantes dadas:
  • Um elemento genérico de W_{3} é um triplo (x,y,z) que satisfaz a equação linear 3x-y+2z=0.
  • Não há outras restrições além dessa equação.

Passo 2

Recordando (aqui explico bem devagar): para verificar se um subconjunto W de um espaço vetorial V é subespaço, basta checar três propriedades básicas:
  1. W não é vazio (ou equivalentemente, contém o vetor zero).
  2. W é fechado sob soma: se u\in W e v\in W, então u+v\in W.
  3. W é fechado sob multiplicação por escalar: se u\in W e \alpha\in\mathbb{R}, então \alpha u\in W.
Explicando as letras: u=(x_1,y_1,z_1) e v=(x_2,y_2,z_2) são vetores em \mathbb{R}^3; \alpha é um número real; “fechado” significa que o resultado da operação permanece dentro de W.
Vou checar cada uma dessas propriedades para W_{3}.

Passo 3

Verificar que W_{3} contém o vetor zero.
O vetor zero em \mathbb{R}^{3} é (0,0,0). Substituindo na equação:
3\cdot 0 - 0 + 2\cdot 0 = 0.
Portanto (0,0,0)\in W_{3}. Assim W_{3} não é vazio e contém o vetor zero.

Passo 4

Verificar fechamento por soma.
Sejam u=(x_1,y_1,z_1)\in W_{3} e v=(x_2,y_2,z_2)\in W_{3}. Pelo fato de pertencerem a W_{3} temos, por hipótese,
3x_1 - y_1 + 2z_1 = 0 \qquad\text{e}\qquad 3x_2 - y_2 + 2z_2 = 0.
Considere u+v=(x_1+x_2,\;y_1+y_2,\;z_1+z_2). Avaliando a expressão linear no vetor soma:
3(x_1+x_2) - (y_1+y_2) + 2(z_1+z_2) = (3x_1 - y_1 + 2z_1) + (3x_2 - y_2 + 2z_2).
Como cada parêntese é 0 (pelas hipóteses), a soma é 0+0=0. Logo u+v\in W_{3}. Assim W_{3} é fechado por soma.

Passo 5

Verificar fechamento por multiplicação escalar.
Seja u=(x_1,y_1,z_1)\in W_{3} com
3x_1 - y_1 + 2z_1 = 0,
e seja \alpha\in\mathbb{R}. Considere \alpha u=(\alpha x_1,\;\alpha y_1,\;\alpha z_1). Avaliando a expressão:
3(\alpha x_1) - (\alpha y_1) + 2(\alpha z_1) = \alpha(3x_1 - y_1 + 2z_1).
Como 3x_1 - y_1 + 2z_1 = 0, o resultado é \alpha\cdot 0 = 0. Logo \alpha u\in W_{3}. Portanto W_{3} é fechado por multiplicação por escalar.

Passo 6

Comentário adicional (útil para a prova): a equação 3x-y+2z=0 é homogênea (termo independente igual a zero). Conjuntos definidos por uma equação linear homogênea são núcleos (kernels) de formas lineares. Definindo a aplicação linear f:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R} por
f(x,y,z)=3x-y+2z,
temos W_{3}=\ker(f)=\{v\in\mathbb{R}^3:f(v)=0\}. O núcleo de qualquer aplicação linear é sempre um subespaço vetorial. Além disso, geometricamente W_{3} é um plano que passa pela origem em \mathbb{R}^3 (normal ao vetor (3,-1,2)), portanto tem dimensão 2.

Passo 7

Conclusão: como W_{3} contém o vetor zero e é fechado sob soma e multiplicação por escalar, W_{3} é um subespaço de \mathbb{R}^{3}.

Resposta

Sim. W_{3} é um subespaço de \mathbb{R}^{3}.

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