Determine se os seguintes conjuntos são subespaços de
.
.
Passo 1
O enunciado dá o conjunto
O que o problema pede: determinar se
é um subespaço de
.
Informações relevantes dadas:
- Um elemento genérico de
é um triplo que satisfaz a equação linear . - Não há outras restrições além dessa equação.
Passo 2
Recordando (aqui explico bem devagar): para verificar se um subconjunto
de um espaço vetorial
é subespaço, basta checar três propriedades básicas:
-
não é vazio (ou equivalentemente, contém o vetor zero). -
é fechado sob soma: se e , então . -
é fechado sob multiplicação por escalar: se e , então .
Explicando as letras:
e
são vetores em
;
é um número real; “fechado” significa que o resultado da operação permanece dentro de
.
Vou checar cada uma dessas propriedades para
.
Passo 3
Verificar que
contém o vetor zero.
O vetor zero em
é
. Substituindo na equação:
Portanto
. Assim
não é vazio e contém o vetor zero.
Passo 4
Verificar fechamento por soma.
Sejam
e
. Pelo fato de pertencerem a
temos, por hipótese,
Considere
. Avaliando a expressão linear no vetor soma:
Como cada parêntese é
(pelas hipóteses), a soma é
. Logo
. Assim
é fechado por soma.
Passo 5
Verificar fechamento por multiplicação escalar.
Seja
com
e seja
. Considere
. Avaliando a expressão:
Como
, o resultado é
. Logo
. Portanto
é fechado por multiplicação por escalar.
Passo 6
Comentário adicional (útil para a prova): a equação
é homogênea (termo independente igual a zero). Conjuntos definidos por uma equação linear homogênea são núcleos (kernels) de formas lineares. Definindo a aplicação linear
por
temos
. O núcleo de qualquer aplicação linear é sempre um subespaço vetorial. Além disso, geometricamente
é um plano que passa pela origem em
(normal ao vetor
), portanto tem dimensão
.
Passo 7
Conclusão: como
contém o vetor zero e é fechado sob soma e multiplicação por escalar,
é um subespaço de
.
Resposta
Sim.
é um subespaço de
.