Determine se os seguintes conjuntos são subespaços de
mathbb{R}^{3}.
W_{1}:=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3}: x=z^{2}\right\},

Passo 1

O enunciado dá o conjunto
W_{1}:=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}: x=z^{2}\}
e pede para determinar se W_{1} é um subespaço de \mathbb{R}^{3}. Ou seja: responder “sim” ou “não” e justificar, usando as informações acima.

Passo 2

Primeiro, qual é a definição prática de subespaço que vou usar (lhe explico passo a passo)?
Um subconjunto W\subseteq\mathbb{R}^{3} é subespaço vetorial se, e somente se, satisfaz três propriedades:
  1. contém o vetor zero (0,0,0);
  2. é fechado sob adição: se u\in W e v\in W então u+v\in W;
  3. é fechado sob multiplicação por escalares: se u\in W e \lambda\in\mathbb{R} então \lambda u\in W.
    Essas condições são necessárias e suficientes — isto é, basta encontrar uma falha em qualquer uma para concluir que não é subespaço. Vou checar-as uma a uma para W_{1}.

Passo 3

Verificar a presença do vetor zero.
O vetor zero é (0,0,0). Substituindo na condição x=z^{2} obtemos
0 = 0^{2},
que é verdadeiro. Portanto (0,0,0)\in W_{1}. Boa notícia: a primeira condição está satisfeita.

Passo 4

Verificar fechamento por multiplicação escalar (estratégia: procurar um contraexemplo simples).
Escolho um vetor fácil que esteja em W_{1}. Tome
u=(1,0,1).
Checo se u\in W_{1}: aqui x=1 e z=1, e 1 = 1^{2} é verdadeiro, então u\in W_{1}.
Agora multiplico por um escalar simples, por exemplo \lambda=-1. Então
\lambda u = -1\cdot(1,0,1)=(-1,0,-1).
Para que (-1,0,-1) pertença a W_{1} deve valer -1 = (-1)^{2}. Mas
(-1)^{2}=1,
logo -1 \neq 1. Portanto -1\cdot u\notin W_{1}.
Concluímos que W_{1} não é fechado sob multiplicação por escalares. Isso já basta para afirmar que W_{1} NÃO é um subespaço de \mathbb{R}^{3}.

Passo 5

(Para reforçar a intuição) Verificar também fechamento por adição com outro contraexemplo.
Considere
v=(1,0,-1).
Verifico v\in W_{1} porque x=1 e z=-1, e 1 = (-1)^{2} é verdade. Agora
u+v=(1,0,1)+(1,0,-1)=(2,0,0).
Para que u+v\in W_{1} seria necessário 2 = 0^{2}, ou seja 2=0, o que é falso. Logo u+v\notin W_{1}. Assim W_{1} também não é fechado sob adição.

Passo 6

Intuição e conclusão didática: a razão prática pela qual W_{1} falha é que a condição x=z^{2} é não linear (tem o termo quadrático z^{2}). Subespaços são objetos lineares; suas equações definidoras, quando existem, devem ser homogêneas e lineares (por exemplo ax+by+cz=0). Geometricamente W_{1} é uma superfície tipo parábola alongada no espaço (um “paraboloide cilíndrico” em certo sentido), e não uma linha ou plano através da origem. No exame, um jeito rápido de testar se um conjunto definido por uma equação é subespaço é: verificar se o zero está, e tentar uma multiplicação escalar simples — se falhar, já era.

Resposta

Não, W_{1} não é subespaço de \mathbb{R}^{3}.

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