Determine se os seguintes conjuntos são subespaços de
.
,
Passo 1
O enunciado dá o conjunto
e pede para determinar se
é um subespaço de
. Ou seja: responder “sim” ou “não” e justificar, usando as informações acima.
Passo 2
Primeiro, qual é a definição prática de subespaço que vou usar (lhe explico passo a passo)?
Um subconjunto é subespaço vetorial se, e somente se, satisfaz três propriedades:
Um subconjunto
- contém o vetor zero
; - é fechado sob adição: se
e então ; - é fechado sob multiplicação por escalares: se
e então .
Essas condições são necessárias e suficientes — isto é, basta encontrar uma falha em qualquer uma para concluir que não é subespaço. Vou checar-as uma a uma para.
Passo 3
Verificar a presença do vetor zero.
O vetor zero é . Substituindo na condição
obtemos
O vetor zero é
que é verdadeiro. Portanto
. Boa notícia: a primeira condição está satisfeita.
Passo 4
Verificar fechamento por multiplicação escalar (estratégia: procurar um contraexemplo simples).
Escolho um vetor fácil que esteja em . Tome
Escolho um vetor fácil que esteja em
Checo se
: aqui
e
, e
é verdadeiro, então
.
Agora multiplico por um escalar simples, por exemplo
. Então
Para que
pertença a
deve valer
. Mas
logo
. Portanto
.
Concluímos que
não é fechado sob multiplicação por escalares. Isso já basta para afirmar que
NÃO é um subespaço de
.
Passo 5
(Para reforçar a intuição) Verificar também fechamento por adição com outro contraexemplo.
Considere
Considere
Verifico
porque
e
, e
é verdade. Agora
Para que
seria necessário
, ou seja
, o que é falso. Logo
. Assim
também não é fechado sob adição.
Passo 6
Intuição e conclusão didática: a razão prática pela qual
falha é que a condição
é não linear (tem o termo quadrático
). Subespaços são objetos lineares; suas equações definidoras, quando existem, devem ser homogêneas e lineares (por exemplo
). Geometricamente
é uma superfície tipo parábola alongada no espaço (um “paraboloide cilíndrico” em certo sentido), e não uma linha ou plano através da origem. No exame, um jeito rápido de testar se um conjunto definido por uma equação é subespaço é: verificar se o zero está, e tentar uma multiplicação escalar simples — se falhar, já era.
Resposta
Não,
não é subespaço de
.