Encontre o ponto de interseção entre as retas:
e
.
Escolha uma opção:
◯ a.
◯ b.
◯ c.
◯ d.
◯ e.
◯ a.
◯ b.
◯ c.
◯ d.
◯ e.
Passo 1
O enunciado dá duas retas no espaço na forma paramétrica e pede o ponto de interseção (se houver). Os dados são:
- Reta
: . - Reta
: .
O que o exercício pede explicitamente: determinar o ponto
que pertence simultaneamente a
e a
, escolhendo a alternativa correta entre as dadas.
Passo 2
O que significa geometricamente e algebricamente “as retas se intersectam”: existem parâmetros
e
tais que as coordenadas de
e de
coincidam. Escrevendo as expressões das coordenadas:
Passo 3
Igualando coordenada a coordenada obtemos um sistema de três equações em duas incógnitas (
Cada equação veio de igualar a respectiva coordenada (x,y,z] das duas parametrizações.]
Passo 4
Vamos isolar
em duas dessas equações para eliminar e encontrar
.
Da primeira equação:
Da terceira equação:
Como ambas expressam
, igualamos:
Agora resolvemos para
.
Passo 5
Resolvendo a igualdade:
Passo 6
Com
encontramos
usando
:
Agora verificamos a consistência na segunda equação (checagem):
Calculemos o lado esquerdo e direito da segunda equação com e
:
Calculemos o lado esquerdo e direito da segunda equação com
Como LHS = RHS, o sistema é consistente: as retas realmente se intersectam para esses parâmetros.
Passo 7
Agora obtemos as coordenadas do ponto de interseção substituindo
na expressão de
:
(Para confirmação, substituindo
na expressão de
também dá
.)