Encontre o ponto de interseção entre as retas: r: X=(2,4,3)+\lambda(4,-12,1), \lambda \in \mathbb{R} e s: X=(1,2,-1)+t(-1,2,-1), t \in \mathbb{R}.
Escolha uma opção:
◯ a. (6,-8,4)
◯ b. (2,0,0)
◯ c. (3,-2,1)
◯ d. (5,-6,3)
◯ e. (4,-4,2)

Passo 1

O enunciado dá duas retas no espaço na forma paramétrica e pede o ponto de interseção (se houver). Os dados são:
  • Reta r: \,X=(2,4,3)+\lambda(4,-12,1),\\ \lambda\in\mathbb{R}.
  • Reta s: \,X=(1,2,-1)+t(-1,2,-1),\\ t\in\mathbb{R}.
O que o exercício pede explicitamente: determinar o ponto X que pertence simultaneamente a r e a s, escolhendo a alternativa correta entre as dadas.

Passo 2

O que significa geometricamente e algebricamente “as retas se intersectam”: existem parâmetros \lambda e t tais que as coordenadas de r e de s coincidam. Escrevendo as expressões das coordenadas:
\text{para }r:\quad X=(\,2+4\lambda,\;4-12\lambda,\;3+\lambda\,),
\text{para }s:\quad X=(\,1-t,\;2+2t,\;-1-t\,).

Passo 3

Igualando coordenada a coordenada obtemos um sistema de três equações em duas incógnitas ( \lambda\) e \(t\)): \[\begin{cases} 2+4\lambda = 1 - t,\\[4pt] 4-12\lambda = 2 + 2t,\\[4pt] 3+\lambda = -1 - t. \end{cases}
Cada equação veio de igualar a respectiva coordenada (x,y,z] das duas parametrizações.]

Passo 4

Vamos isolar t em duas dessas equações para eliminar e encontrar \lambda.
Da primeira equação:
2+4\lambda = 1 - t \quad\Rightarrow\quad t = -1 - 4\lambda.
Da terceira equação:
3+\lambda = -1 - t \quad\Rightarrow\quad t = -4 - \lambda.
Como ambas expressam t, igualamos:
-1 - 4\lambda = -4 - \lambda.
Agora resolvemos para \lambda.

Passo 5

Resolvendo a igualdade:
-1 - 4\lambda = -4 - \lambda
\Rightarrow -1 +4 = -\lambda +4\lambda
\Rightarrow 3 = 3\lambda
\Rightarrow \lambda = 1.

Passo 6

Com \lambda=1 encontramos t usando t = -4 - \lambda:
t = -4 - 1 = -5.
Agora verificamos a consistência na segunda equação (checagem):
Calculemos o lado esquerdo e direito da segunda equação com \lambda=1 e t=-5:
\text{LHS} = 4 - 12\lambda = 4 - 12\cdot 1 = -8,
\text{RHS} = 2 + 2t = 2 + 2\cdot(-5) = 2 -10 = -8.
Como LHS = RHS, o sistema é consistente: as retas realmente se intersectam para esses parâmetros.

Passo 7

Agora obtemos as coordenadas do ponto de interseção substituindo \lambda=1 na expressão de r:
X_r = (\,2+4\cdot1,\;4-12\cdot1,\;3+1\,) = (\,6,\;-8,\;4\,).
(Para confirmação, substituindo t=-5 na expressão de s também dá (6,-8,4).)

Resposta

(6,-8,4)

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