A matriz A é dada explicitamente (mostrada acima).
Queremos P invertível e D diagonal tais que
A = P\,D\,P^{-1}.
Para construir P e D precisamos calcular os autovalores de A e uma base de autovetores (autovetores linearmente independentes) associada a cada autovalor.
Passo 2
O que é diagonalização (rápido e prático):
Uma matriz A é diagonalizável se existir uma matriz invertível P cujas colunas são autovetores de A e uma matriz diagonal D com os autovalores correspondentes, tal que A=PDP^{-1}.
Cada coluna de P é um autovetor v de A e a entrada correspondente na diagonal de D é o autovalor \lambda que satisfaz Av=\lambda v.
Para conseguir n colunas linearmente independentes (no caso n=4) é preciso que a soma das dimensões dos autespaços (geometric multiplicities) seja 4.
Passo 3
Encontrar os autovalores:
Observação útil: A é triangular superior, logo os autovalores são exatamente os elementos da diagonal principal.
Portanto os autovalores são
Assim o autespaço de \lambda=1 tem dimensão 2, igual à multiplicidade algébrica.]
Passo 6
Conclusão sobre diagonalizabilidade e montagem de P e D:
Achamos 2 autovetores independentes para \lambda=2 e 2 para \lambda=1. No total temos 4 autovetores linearmente independentes, portanto A é diagonalizável.
Podemos montar P tomando como colunas os autovetores escolhidos e montar D com os autovalores correspondentes na mesma ordem das colunas.
Vou usar a ordem \lambda=2,\lambda=2,\lambda=1,\lambda=1 e vetores v_1,v_2,v_3,v_4 das escolhas anteriores. Assim