Se possível ache as matrizes P e D do processo de diagonalização, para a matriz
A=\left[\begin{array}{llll} 2 & 0 & 3 & 4 \\\\ 0 & 2 & 3 & 2 \\\\ 0 & 0 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para encontrar matrizes P e D do processo de diagonalização da matriz
A=\left[\begin{array}{llll} 2 & 0 & 3 & 4 \\\\ 0 & 2 & 3 & 2 \\\\ 0 & 0 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right].
As informações relevantes que temos:
  • A matriz A é dada explicitamente (mostrada acima).
  • Queremos P invertível e D diagonal tais que
A = P\,D\,P^{-1}.
  • Para construir P e D precisamos calcular os autovalores de A e uma base de autovetores (autovetores linearmente independentes) associada a cada autovalor.

Passo 2

O que é diagonalização (rápido e prático):
  • Uma matriz A é diagonalizável se existir uma matriz invertível P cujas colunas são autovetores de A e uma matriz diagonal D com os autovalores correspondentes, tal que A=PDP^{-1}.
  • Cada coluna de P é um autovetor v de A e a entrada correspondente na diagonal de D é o autovalor \lambda que satisfaz Av=\lambda v.
  • Para conseguir n colunas linearmente independentes (no caso n=4) é preciso que a soma das dimensões dos autespaços (geometric multiplicities) seja 4.

Passo 3

Encontrar os autovalores:
  • Observação útil: A é triangular superior, logo os autovalores são exatamente os elementos da diagonal principal.
    Portanto os autovalores são
\lambda_1=2,\quad \lambda_2=2,\quad \lambda_3=1,\quad \lambda_4=1.
Ou seja, \lambda=2 tem multiplicidade algébrica 2 e \lambda=1 tem multiplicidade algébrica 2.

Passo 4

Calcular os autovetores para \lambda=2\): - Resolvemos \((A-2I)x=0\). Primeiro escrevemos \(A-2I\): \[A-2I=\left[\begin{array}{rrrr} 0 & 0 & 3 & 4 \\\\ 0 & 0 & 3 & 2 \\\\ 0 & 0 & -1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{array}\right].
  • Se x=(x_1,x_2,x_3,x_4)^T, as equações são
\begin{cases} 3x_3+4x_4=0,\\[4pt] 3x_3+2x_4=0,\\[4pt] - x_3=0,\\[4pt] - x_4=0. \end{cases}
  • Das duas últimas temos x_3=0\] e \(x_4=0. As duas primeiras ficam automaticamente satisfeitas com isso.
  • Logo os autovetores para \lambda=2 têm a forma
x=(x_1,x_2,0,0)^T,
com x_1,x_2 livres. Uma base conveniente do autespaço \ker(A-2I) é dada por
v_1=\left(\begin{smallmatrix}1\\\ 0\\\ 0\\\ 0\end{smallmatrix}\right),\qquad v_2=\left(\begin{smallmatrix}0\\\ 1\\\ 0\\\ 0\end{smallmatrix}\right).
  • A dimensão do autespaço de \lambda=2 é 2, igual à multiplicidade algébrica, ótimo.]

Passo 5

Calcular os autovetores para \lambda=1\): - Resolvemos \((A-1I)x=0\). Escrevemos \(A-1I\): \[A-1I=\left[\begin{array}{rrrr} 1 & 0 & 3 & 4 \\\\ 0 & 1 & 3 & 2 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right].
  • As equações para x=(x_1,x_2,x_3,x_4)^T são
\begin{cases} x_1+3x_3+4x_4=0,\\[4pt] x_2+3x_3+2x_4=0, \end{cases}
e as outras duas não impõem restrição adicional.
  • Resolvendo para x_1,x_2\] em função de \(x_3,x_4:
x_1=-3x_3-4x_4,\qquad x_2=-3x_3-2x_4,
com x_3,x_4 livres. Portanto o autespaço tem dimensão 2.
  • Podemos escolher duas escolhas independentes para (x_3,x_4) e obter autovetores:
    • Tomando (x_3,x_4)=(1,0) obtemos
    v_3=\left(\begin{smallmatrix}-3\\\ -3\\\ 1\\\ 0\end{smallmatrix}\right).
    • Tomando (x_3,x_4)=(0,1) obtemos
    v_4=\left(\begin{smallmatrix}-4\\\ -2\\\ 0\\\ 1\end{smallmatrix}\right).
  • Assim o autespaço de \lambda=1 tem dimensão 2, igual à multiplicidade algébrica.]

Passo 6

Conclusão sobre diagonalizabilidade e montagem de P e D:
  • Achamos 2 autovetores independentes para \lambda=2 e 2 para \lambda=1. No total temos 4 autovetores linearmente independentes, portanto A é diagonalizável.
  • Podemos montar P tomando como colunas os autovetores escolhidos e montar D com os autovalores correspondentes na mesma ordem das colunas.
  • Vou usar a ordem \lambda=2,\lambda=2,\lambda=1,\lambda=1 e vetores v_1,v_2,v_3,v_4 das escolhas anteriores. Assim
P=\left[\;v_1\;v_2\;v_3\;v_4\;\right] =\left[\begin{array}{rrrr} 1 & 0 & -3 & -4 \\\\ 0 & 1 & -3 & -2 \\\\ 0 & 0 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right], \qquad D=\left[\begin{array}{rrrr} 2 & 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 2 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right].

Passo 7

Verificação rápida (para ganhar confiança):
  • Verificar que cada coluna v_i é autovetor com autovalor correspondente:
    • A v_1 = 2 v_1 e A v_2 = 2 v_2 (é imediato porque v_1 e v_2 têm zeros nas posições 3 e 4).
    • A v_3 = v_3 e A v_4 = v_4: multiplicando confirma-se que as igualdades valem (pode-se conferir explicitamente as componentes).
  • Assim A P = P D, o que é equivalente a A = P D P^{-1} quando P é invertível; P é invertível porque suas colunas são linearmente independentes.

Resposta

P=\left[\begin{array}{rrrr} 1 & 0 & -3 & -4 \\\\ 0 & 1 & -3 & -2 \\\\ 0 & 0 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right], \qquad D=\left[\begin{array}{rrrr} 2 & 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 2 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right]

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