Determine quais dos seguintes enunciados são verdadeiros e quais são falsos, argumentando as suas respostas.
as funções pares não são crescentes e nem decrescentes.

Passo 1

O enunciado afirma que “as funções pares não são crescentes e nem decrescentes”. Aqui o conteúdo é definição de função par e os conceitos de função crescente e decrescente. Vamos lembrar essas definições e depois verificar se essa afirmação vale para todo caso ou se encontramos contraexemplos.

Passo 2

Uma função f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R} é par se
f(-x)=f(x)\quad\text{para todo }x\in\mathbb{R}.
Já dizemos que f é crescente se, sempre que x_1<x_2, então f(x_1)\le f(x_2), e decrescente se x_1<x_2 implica f(x_1)\ge f(x_2).

Passo 3

Se a afirmação fosse verdadeira, nenhuma função par poderia ser crescente nem decrescente em todo o seu domínio. No entanto, considere a função constante
f(x)=3.
Ela satisfaz f(-x)=3=f(x), logo é par, e também é crescente (pois nunca diminui) e decrescente (pois nunca aumenta). Portanto já temos um contraexemplo que mostra que a afirmação é falsa.

Passo 4

Mesmo restringindo a funções não-constantes, observa-se que, para uma função par genérica f, a simetria f(-x)=f(x) impede monotonicidade estrita em toda \mathbb{R}, mas isso não derruba o exemplo da função constante. Logo a afirmação universal “nenhuma função par é crescente nem decrescente” não se sustenta.

Resposta

A afirmação é falsa.

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