Determine quais dos seguintes enunciados são verdadeiros e quais são falsos, argumentando as suas respostas.
existem funções ímpares que não são crescentes.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se é verdadeira ou falsa a afirmação “existem funções ímpares que não são crescentes”. Nosso objetivo é entender as definições de função ímpar e função crescente e, em seguida, dar um exemplo que mostre se a afirmação é verdadeira ou não.

Passo 2

Relembrando as definições:
– Dizemos que uma função f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R} é ímpar se, para todo x\in\mathbb{R},
f(-x) = -\,f(x).
– Dizemos que f é (não estritamente) crescente se, sempre que x<y, temos
f(x) \le f(y).

Passo 3

Para mostrar que existem funções ímpares que não são crescentes, vamos construir um exemplo concreto. Considere a função
f(x) = x^{3} - x.

Passo 4

Vamos verificar que f é ímpar e, ao mesmo tempo, não é crescente em todo \mathbb{R}.
  1. (Ímpar)
    f(-x) = (-x)^{3} - (-x) = -\,x^{3} + x = -\bigl(x^{3} - x\bigr) = -\,f(x).
    Logo, f satisfaz f(-x)=-f(x) para todo x, isto é, é ímpar.
  2. (Não crescente)
    Calculemos a derivada:
    f'(x) = 3x^{2} - 1.
    Note que f'(0)= -1 < 0. Isso significa que em um entorno de x=0 a função está decrescendo, logo não pode ser crescente em todo \mathbb{R}. Por exemplo, pegando x_1 = -\tfrac12 e x_2 = 0 temos x_1 < x_2 mas
    f\bigl(-\tfrac12\bigr) = \bigl(-\tfrac12\bigr)^{3} - \bigl(-\tfrac12\bigr) = -\tfrac18 + \tfrac12 = \tfrac38, \quad f(0)=0,
    e assim f(x_1)=\tfrac38 > 0 = f(x_2), o que contradiz a monotonicidade crescente.

Resposta

A afirmação é verdadeira. Existem, sim, funções ímpares que não são crescentes (por exemplo, f(x)=x^{3}-x).

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