Determine quais dos seguintes enunciados são verdadeiros e quais são falsos, argumentando as suas respostas.
existem funções ímpares que não são crescentes.
existem funções ímpares que não são crescentes.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se é verdadeira ou falsa a afirmação “existem funções ímpares que não são crescentes”. Nosso objetivo é entender as definições de função ímpar e função crescente e, em seguida, dar um exemplo que mostre se a afirmação é verdadeira ou não.
Passo 2
Relembrando as definições:
– Dizemos que uma função é ímpar se, para todo
,
– Dizemos que uma função
– Dizemos que
é (não estritamente) crescente se, sempre que
, temos
Passo 3
Para mostrar que existem funções ímpares que não são crescentes, vamos construir um exemplo concreto. Considere a função
Passo 4
Vamos verificar que
é ímpar e, ao mesmo tempo, não é crescente em todo
.
-
(Ímpar)Logo,
satisfaz para todo , isto é, é ímpar. -
(Não crescente)
Calculemos a derivada:Note que. Isso significa que em um entorno de a função está decrescendo, logo não pode ser crescente em todo . Por exemplo, pegando e temos mas e assim, o que contradiz a monotonicidade crescente.
Resposta
A afirmação é verdadeira. Existem, sim, funções ímpares que não são crescentes (por exemplo,
).