Determine quais dos seguintes enunciados são verdadeiros e quais são falsos, argumentando as suas respostas.
toda função ímpar é invertível.
toda função ímpar é invertível.
Passo 1
O enunciado pergunta se “toda função ímpar é invertível”. O conteúdo envolvido é definição de função ímpar e definição de função invertível (bijetora). Para resolver, vamos recordar o que significa cada termo e depois ver se isso sempre vale ou se aparece algum contra-exemplo.
Passo 2
Função invertível significa que existe inversa, ou seja, que a função é bijetora. Em detalhes:
– Injetora: elementos distintos do domínio dão imagens distintas.
– Sobrejetora: todo elemento do contradomínio é imagem de algum elemento do domínio.
Somente funções que são simultaneamente injetoras e sobrejetoras possuem inversa.
– Injetora: elementos distintos do domínio dão imagens distintas.
– Sobrejetora: todo elemento do contradomínio é imagem de algum elemento do domínio.
Somente funções que são simultaneamente injetoras e sobrejetoras possuem inversa.
Passo 3
Função ímpar satisfaz
para todo
em seu domínio. Geometricamente, é simétrica em relação à origem.
Passo 4
Para que “toda função ímpar” fosse invertível, toda função que satisfaz
teria de ser bijetora. Mas basta um contra-exemplo para refutar a afirmação. Considere a função constante
Então, para qualquer
,
logo
é ímpar. Porém não é injetora, pois
para quaisquer
. Sem injetividade, não há inversa.
Passo 5
Como encontramos uma função ímpar que não é invertível, a afirmação “toda função ímpar é invertível” é falsa.
Resposta
A afirmação é falsa.