Determine quais dos seguintes enunciados são verdadeiros e quais são falsos, argumentando as suas respostas.
toda função ímpar é invertível.

Passo 1

O enunciado pergunta se “toda função ímpar é invertível”. O conteúdo envolvido é definição de função ímpar e definição de função invertível (bijetora). Para resolver, vamos recordar o que significa cada termo e depois ver se isso sempre vale ou se aparece algum contra-exemplo.

Passo 2

Função invertível significa que existe inversa, ou seja, que a função é bijetora. Em detalhes:
– Injetora: elementos distintos do domínio dão imagens distintas.
– Sobrejetora: todo elemento do contradomínio é imagem de algum elemento do domínio.
Somente funções que são simultaneamente injetoras e sobrejetoras possuem inversa.

Passo 3

Função ímpar satisfaz
f(-x) = -\,f(x)
para todo x em seu domínio. Geometricamente, é simétrica em relação à origem.

Passo 4

Para que “toda função ímpar” fosse invertível, toda função que satisfaz f(-x)=-f(x) teria de ser bijetora. Mas basta um contra-exemplo para refutar a afirmação. Considere a função constante
f\colon \mathbb R \to \mathbb R,\quad f(x)=0.
Então, para qualquer x,
f(-x)=0 = -\,0 = -\,f(x),
logo f é ímpar. Porém não é injetora, pois f(x_1)=f(x_2) para quaisquer x_1,x_2. Sem injetividade, não há inversa.

Passo 5

Como encontramos uma função ímpar que não é invertível, a afirmação “toda função ímpar é invertível” é falsa.

Resposta

A afirmação é falsa.

Exercícios relacionados