Explique a propriedade gráfica que uma função deve satisfazer para ser a sua própria inversa.

Passo 1

O enunciado pede a propriedade gráfica que caracteriza uma função f tal que
f^{-1} = f.
O conteúdo é teoria de função inversa e sua interpretação geométrica.

Passo 2

Lembre que, por definição, a inversa de f satisfaz
f^{-1}(y)=x \quad\Longleftrightarrow\quad f(x)=y.
Graficamente, o ponto (x,y) do gráfico de f corresponde ao ponto (y,x) do gráfico de f^{-1}.

Passo 3

Se f^{-1}=f, todo ponto (a,b) do gráfico de f deve também aparecer como (b,a) no mesmo gráfico. Logo, ao trocar coordenadas, o gráfico não muda.

Passo 4

Trocar as coordenadas (x,y)\mapsto(y,x) equivale a refletir o plano na reta
y=x.
Portanto, o gráfico de f deve ser invariante sob essa reflexão.

Passo 5

Concluímos que a condição gráfica para f ser sua própria inversa é:
O gráfico de f é simétrico em relação à reta
y = x.

Resposta

O gráfico de f coincide com sua reflexão na reta y=x, ou seja, é simétrico em relação a essa reta.

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