Determine partial fpartial x e partial fpartial y para as seguintes funções de duas variáveis:
f(x, y)=raiz[3]x^3+y^3+3

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de
f(x,y)=raiz[3]x^3+y^3+3
ou seja, queremos calcular partial f/partial x e partial f/partial y. O conteúdo usado aqui é o conceito de derivada parcial e, no caso de raiz[3]x^3, a regra da cadeia para potências.

Passo 2

Para partial fpartial x, note que
raiz[3]x^3=(x^3)^1/3
Aplicando a regra da cadeia: se g(u)=u^1/3 e u(x)=x^3, então
g'(u)=tfrac13u^-2/3, u'(x)=3x^2,
logo
ddx(x^3)^1/3 =13(x^3)^-2/3cdot 3x^2 =x^2,(x^3)^-2/3 =x^2(x^3)^2/3 =x^2x^2 =1 (xneq0),
e por continuidade também em x=0 vale 1. Como y^3+3 não depende de x,
partial fpartial x=1

Passo 3

Para partial fpartial y, tratamos x como constante e derivamos apenas y^3, pois raiz[3]x^3+3 é constante em relação a y. Assim
partialpartial y(y^3)=3y^2,
portanto
partial fpartial y=3y^2

Resposta

partial fpartial x=1, partial fpartial y=3y^2

Exercícios relacionados