Calcule os limites.
(a) lim x 1^+ |x-1|x-1
(b) lim x 1^- x^2-1|x-1|
(c) lim x -infty 2 x+1x+3
(d) lim x -infty x^2-2 x+33 x^2+x+1
(e) lim x +infty raizx^2+13 x+2
(f) lim x +infty raiz[3]x^3+2 x-1raizx^2+x+1
(g) lim x +infty(raizx+raizx-raizx-1)
(h) lim x 12^+ 3 x+14 x^2-1
(i) lim x 1^+ 3 x-5x^2+3 x-4

Passo 1

O enunciado pede vários limites envolvendo valor absoluto, limites unilaterais em pontos de descontinuidade, limites no infinito para funções racionais e envolvendo raízes. Vamos usar estas ideias principais:
1. Tratar |x-1| por definição em cada lado de x=1.
2. Extrair o fator dominante em racionais quando xtopminfty.
3. Racionalizar diferenças de raízes quando aparece forma infty infty.
4. Analisar sinal do numerador e denominador em limites unilaterais que tendem a infinito.

Passo 2

Para limxto1^+|x-1|x-1 note que, se x>1, então |x-1|=x-1. Logo
|x-1|x-1 =x-1x-1 =1
e, portanto, o limite vale 1.

Passo 3

Para limxto1^-x^2-1|x-1| usamos que, se x<1, então |x-1|=1-x. Além disso
x^2-1=(x-1)(x+1),
logo
x^2-1|x-1| =(x-1)(x+1)1-x =-,(x+1)
Quando xto1^-, -,(x+1)to-2.

Passo 4

Para limxto-infty2x+1x+3 dividimos numerador e denominador por x:
2x+1x+3 =2+1x1+3x longrightarrow21=2

Passo 5

Para limxto-inftyx^2-2x+33x^2+x+1 dividimos tudo por x^2:
x^2-2x+33x^2+x+1 =1-2x+3x^23+1x+1x^2 longrightarrow13

Passo 6

Para limxto+inftyraizx^2+13x+2 escrevemos
raizx^2+1=xraiz1+tfrac1x^2. Dividindo numerador e denominador por x
raiz1+tfrac1x^23+tfrac2x longrightarrow13

Passo 7

Para limxto+inftyraiz[3]x^3+2x-1raizx^2+x+1 fatoramos
raiz[3]x^3+2x-1 =xraiz[3]1+2x^2-1x^3, raizx^2+x+1 =xraiz1+1x+1x^2
Ao dividir, o x cancela e cada raiz tende a 1, de modo que o quociente tende a 1.

Passo 8

Para limxto+inftyl(raizx+raizx-raizx-1r) usamos racionalização:
raizx+raizx-raizx-1 =(x+raizx)-(x-1) raizx+raizx+raizx-1 =raizx+1 raizx+raizx+raizx-1
Como ambos os termos do denominador são simraizx, o numerador simraizx e o denominador sim2raizx, o limite vale tfrac12.

Passo 9

Para limxto12^+3x+14x^2-1 observe que em x=tfrac12 o denominador 4x^2-1 zera e, para x>tfrac12, ele é positivo (pois 4x^2>1) e o numerador 3x+1>0. Como o denominador tende a 0^+, a fração explode para +infty.

Passo 10

Para limxto1^+3x-5x^2+3x-4 note que
x^2+3x-4=(x-1)(x+4)
Quando xto1^+, o numerador 3x-5to-2 e o denominador (x-1)(5)to0^+, logo a fração tende a -infty.

Resposta

(a) 1
(b) -2
(c) 2
(d) tfrac13
(e) tfrac13
(f) 1
(g) tfrac12
(h) +infty
(i) -infty

Exercícios relacionados