Calcule os limites.
lim x pi sen xx-pi

Passo 1

Beleza, o enunciado pede calcular
limxtopisin xx-pi
Esse tipo de limite dá a forma indeterminada 0/0 porque sinpi=0 e pi-pi=0. Para resolver, a gente pode usar a regra de l’Hôpital, que diz que quando temos 0/0 podemos trocar a razão original pela razão das derivadas do numerador e do denominador.

Passo 2

Vamos verificar a indeterminação e aplicar l’Hôpital. Substituindo direto,
sinpi=0 e pi-pi=0, então é 0/0. Pela regra de l’Hôpital:
limxtopisin xx-pi =limxtopiddx(sin x)ddx(x-pi) =limxtopicos x1

Passo 3

Agora cos x é contínua, então basta pôr x=pi:
limxtopicos x1=cospi=-1

Resposta

-1

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