Determine quais das seguintes funções é uma transformação linear (Justifique!):
P[x] o espaço de todos os polinômios e F: P[x] P[x] dada por F(p(x))= (p(x))^2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se uma função específica é uma transformação linear. A gente está trabalhando com transformações lineares dentro de espaços de polinômios, que são basicamente funções do tipo $ p(x) $. A função em questão é $ F: P[x] \rightarrow P[x] $, onde $ F(p(x)) = (p(x))^{2} $. Para resolver, precisamos lembrar o que caracteriza uma transformação linear e verificar se $ F $ satisfaz essas propriedades.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar quais são as propriedades de uma transformação linear. Para uma função $ F $ ser linear, ela precisa obedecer duas regras:
  1. Aditividade: $ F(u + v) = F(u) + F(v) $ para quaisquer polinômios $ u $ e $ v $.
  2. Homogeneidade: $ F(cu) = cF(u) $ para qualquer escalar $ c $ e polinômio $ u $.
Vamos testar essas propriedades com a função $ F(p(x)) = (p(x))^{2} $.

Passo 3

Primeiro, vamos verificar a adição. Suponha que temos dois polinômios $ u(x) $ e $ v(x) $. Segundo a função $ F $:
u(x)
Por outro lado:
v(x)
Comparando os dois resultados:
F
Vemos que $ F(u + v) $ não é igual a $ F(u) + F(v) $, a menos que $ uv = 0 $, o que não é geral.

Passo 4

Agora, vamos testar a homogeneidade. Seja $ c $ um escalar e $ u(x) $ um polinômio. Então:
c
E:
u(x)
Comparando:
F(cu) = (cu)^2 = c^2u^2
A igualdade só ocorreria se $ c^{2} = c $, ou seja, para $ c = 0 $ ou $ c = 1 $, o que também não é geral.

Resposta

Como a função $ F(p(x)) = (p(x))^{2} $ não satisfaz nem a aditividade nem a homogeneidade de uma transformação linear, concluímos que $ F $ não é uma transformação linear.

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