Determine quais das seguintes funções é uma transformação linear (Justifique!):
o espaço de todos os polinômios e
dada por
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se uma função específica é uma transformação linear. A gente está trabalhando com transformações lineares dentro de espaços de polinômios, que são basicamente funções do tipo $ p(x) $. A função em questão é $ F: P[x] \rightarrow P[x] $, onde $ F(p(x)) = (p(x))^{2} $. Para resolver, precisamos lembrar o que caracteriza uma transformação linear e verificar se $ F $ satisfaz essas propriedades.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar quais são as propriedades de uma transformação linear. Para uma função $ F $ ser linear, ela precisa obedecer duas regras:
- Aditividade: $ F(u + v) = F(u) + F(v) $ para quaisquer polinômios $ u $ e $ v $.
- Homogeneidade: $ F(cu) = cF(u) $ para qualquer escalar $ c $ e polinômio $ u $.
Vamos testar essas propriedades com a função $ F(p(x)) = (p(x))^{2} $.
Passo 3
Primeiro, vamos verificar a adição. Suponha que temos dois polinômios $ u(x) $ e $ v(x) $. Segundo a função $ F $:
Por outro lado:
Comparando os dois resultados:
Vemos que $ F(u + v) $ não é igual a $ F(u) + F(v) $, a menos que $ uv = 0 $, o que não é geral.
Passo 4
Agora, vamos testar a homogeneidade. Seja $ c $ um escalar e $ u(x) $ um polinômio. Então:
E:
Comparando:
A igualdade só ocorreria se $ c^{2} = c $, ou seja, para $ c = 0 $ ou $ c = 1 $, o que também não é geral.
Resposta
Como a função $ F(p(x)) = (p(x))^{2} $ não satisfaz nem a aditividade nem a homogeneidade de uma transformação linear, concluímos que $ F $ não é uma transformação linear.