Considere uma barra que possui momento de inércia dado por
(teorema dos eixos paralelos). Determine a equação do período para pequenos ângulos sabendo que a distância entre o eixo de rotação e o centro de massa é de
. O que ocorre quando
tende a zero e quando
tende ao infinito?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre uma barra que gira em torno de um eixo e nos pede para encontrar a equação do período de oscilação para pequenos ângulos. A matéria envolvida aqui é Momento de Inércia e Movimento Oscilatório. Vamos precisar entender o teorema dos eixos paralelos e como ele se aplica para calcular o momento de inércia em relação ao eixo de rotação.
Passo 2
Primeiro, vamos recordar o Momento de Inércia, que é uma medida de como a massa está distribuída em relação ao eixo de rotação. Para uma barra de comprimento $ L $ e massa $ M $ girando em torno de seu centro, o momento de inércia é:
Passo 3
Agora, como a barra está girando em torno de um eixo que não passa pelo centro de massa, usamos o Teorema dos Eixos Paralelos. Esse teorema diz que o momento de inércia em relação a um eixo paralelo ao do centro de massa é:
onde $ D $ é a distância entre o eixo de rotação e o centro de massa.
Passo 4
Substituindo $ I_{centro} $ na equação:
Aqui, $ D $ é dado como $ x $ cm na questão.
Passo 5
Agora, vamos relacionar o momento de inércia com o Período de Oscilação. Para pequenos ângulos, o movimento pode ser aproximado como um movimento harmônico simples, e o período $ T $ é dado por:
onde $ g $ é a aceleração da gravidade e $ x $ é a distância do eixo ao centro de massa.
Passo 6
Substituindo $ I $ na equação do período:
Aqui, simplificamos $ M $ no numerador e denominador.
Passo 7
Vamos simplificar mais a expressão:
Essa é a equação do período em termos de $ L $, $ x $ e $ g $.
Passo 8
Agora, vamos analisar os casos limites:
- Quando $ x $ tende a zero ($ x \to 0 $):
Isso significa que o período tende ao infinito, ou seja, o sistema não oscila mais.
- Quando $ x $ tende ao infinito ($ x \to \infty $):
Novamente, o período tende ao infinito, indicando que as oscilações são extremamente lentas.
Resposta
A equação do período para pequenos ângulos é:
Quando $ x $ tende a zero ou ao infinito, o período $ T $ tende ao infinito em ambos os casos.