Considere uma barra que possui momento de inércia dado por I=112 M L^2+M D^2 (teorema dos eixos paralelos). Determine a equação do período para pequenos ângulos sabendo que a distância entre o eixo de rotação e o centro de massa é de x cm. O que ocorre quando x tende a zero e quando x tende ao infinito?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre uma barra que gira em torno de um eixo e nos pede para encontrar a equação do período de oscilação para pequenos ângulos. A matéria envolvida aqui é Momento de Inércia e Movimento Oscilatório. Vamos precisar entender o teorema dos eixos paralelos e como ele se aplica para calcular o momento de inércia em relação ao eixo de rotação.

Passo 2

Primeiro, vamos recordar o Momento de Inércia, que é uma medida de como a massa está distribuída em relação ao eixo de rotação. Para uma barra de comprimento $ L $ e massa $ M $ girando em torno de seu centro, o momento de inércia é:
L

Passo 3

Agora, como a barra está girando em torno de um eixo que não passa pelo centro de massa, usamos o Teorema dos Eixos Paralelos. Esse teorema diz que o momento de inércia em relação a um eixo paralelo ao do centro de massa é:
I = Icentro + M D^2
onde $ D $ é a distância entre o eixo de rotação e o centro de massa.

Passo 4

Substituindo $ I_{centro} $ na equação:
Icentro
Aqui, $ D $ é dado como $ x $ cm na questão.

Passo 5

Agora, vamos relacionar o momento de inércia com o Período de Oscilação. Para pequenos ângulos, o movimento pode ser aproximado como um movimento harmônico simples, e o período $ T $ é dado por:
T
onde $ g $ é a aceleração da gravidade e $ x $ é a distância do eixo ao centro de massa.

Passo 6

Substituindo $ I $ na equação do período:
I
Aqui, simplificamos $ M $ no numerador e denominador.

Passo 7

Vamos simplificar mais a expressão:
T = 2pi raizL^212 g x + xg
Essa é a equação do período em termos de $ L $, $ x $ e $ g $.

Passo 8

Agora, vamos analisar os casos limites:
  • Quando $ x $ tende a zero ($ x \to 0 $):
x
Isso significa que o período tende ao infinito, ou seja, o sistema não oscila mais.
  • Quando $ x $ tende ao infinito ($ x \to \infty $):
x to 0
Novamente, o período tende ao infinito, indicando que as oscilações são extremamente lentas.

Resposta

A equação do período para pequenos ângulos é:
T = 2pi raiz112 L^2 + x^2g x
Quando $ x $ tende a zero ou ao infinito, o período $ T $ tende ao infinito em ambos os casos.

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