Caso convirjam, determine as integrais impróprias abaixo, caso sejam divergentes, justifique.
6.
\int_{-2}^{7} \frac{d x}{(x-1)^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral imprópria
\int_{-2}^{7}\frac{dx}{(x-1)^{2}}.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função integranda é \dfrac{1}{(x-1)^{2}}.
  • O intervalo de integração é de -2 até 7.
  • Observação imediata: o denominador se anula em x=1, que está dentro do intervalo de integração. Portanto a integral é imprópria por singularidade interna e precisamos verificar convergência, tratando-a como soma de limites das integrais próprias à esquerda e à direita de x=1.

Passo 2

Como há uma singularidade em \,x=1, dividimos a integral em duas partes e definimos cada uma por limite. Escrevemos
\int_{-2}^{7}\frac{dx}{(x-1)^{2}}= \int_{-2}^{1}\frac{dx}{(x-1)^{2}}+\int_{1}^{7}\frac{dx}{(x-1)^{2}},
onde, por definição de integral imprópria,
\int_{-2}^{1}\frac{dx}{(x-1)^{2}}=\lim_{t\to 1^-}\int_{-2}^{t}\frac{dx}{(x-1)^{2}} \quad\text{e}\quad \int_{1}^{7}\frac{dx}{(x-1)^{2}}=\lim_{s\to 1^+}\int_{s}^{7}\frac{dx}{(x-1)^{2}}.
Para que a integral original convirja, ambas as limites acima devem existir e ser finitas.

Passo 3

Encontramos uma primitiva (antiderivada) de \dfrac{1}{(x-1)^{2}}. Note que, para x\neq 1,
\frac{d}{dx}\!\left(-\frac{1}{x-1}\right) = -\left(-1\right)\frac{1}{(x-1)^{2}} = \frac{1}{(x-1)^{2}}.
Logo uma primitiva é
F(x)=-\frac{1}{x-1}.

Passo 4

Calculamos a integral à esquerda como limite usando F. Para t<1 temos
\int_{-2}^{t}\frac{dx}{(x-1)^{2}}=F(t)-F(-2) =-\frac{1}{t-1}-\Big(-\frac{1}{-2-1}\Big) =-\frac{1}{t-1}-\frac{1}{3}.
Agora tomamos o limite quando t\to 1^-. Como t\to 1^- implica t-1\to 0^-, temos \dfrac{1}{t-1}\to -\infty e portanto
-\frac{1}{t-1}\to +\infty.
Assim
\lim_{t\to 1^-}\int_{-2}^{t}\frac{dx}{(x-1)^{2}}=+\infty,
ou seja, a integral à esquerda diverge para +\infty.

Passo 5

Para completar o raciocínio, calculamos também a integral à direita. Para s>1,
\int_{s}^{7}\frac{dx}{(x-1)^{2}}=F(7)-F(s) =-\frac{1}{7-1}+\frac{1}{s-1} =-\frac{1}{6}+\frac{1}{s-1}.
Ao tomar s\to 1^+ temos s-1\to 0^+ e \dfrac{1}{s-1}\to +\infty. Logo
\lim_{s\to 1^+}\int_{s}^{7}\frac{dx}{(x-1)^{2}}=+\infty,
ou seja, a integral à direita também diverge para +\infty.

Passo 6

Conclusão: como pelo menos uma (na verdade as duas) das integrais laterais diverge (tornando-se infinita), a integral imprópria original não converge para um número finito. Dizemos que a integral diverge (especificamente diverge para +\infty).

Resposta

Diverge (diverge para +\infty).

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