Caso convirjam, determine as integrais impróprias abaixo, caso sejam divergentes, justifique.
6.
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Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral imprópria
Informações relevantes fornecidas:
- A função integranda é
. - O intervalo de integração é de
até . - Observação imediata: o denominador se anula em
, que está dentro do intervalo de integração. Portanto a integral é imprópria por singularidade interna e precisamos verificar convergência, tratando-a como soma de limites das integrais próprias à esquerda e à direita de .
Passo 2
Como há uma singularidade em
, dividimos a integral em duas partes e definimos cada uma por limite. Escrevemos
onde, por definição de integral imprópria,
Para que a integral original convirja, ambas as limites acima devem existir e ser finitas.
Passo 3
Encontramos uma primitiva (antiderivada) de
. Note que, para
,
Logo uma primitiva é
Passo 4
Calculamos a integral à esquerda como limite usando
. Para
temos
Agora tomamos o limite quando
. Como
implica
, temos
e portanto
Assim
ou seja, a integral à esquerda diverge para
.
Passo 5
Para completar o raciocínio, calculamos também a integral à direita. Para
,
Ao tomar
temos
e
. Logo
ou seja, a integral à direita também diverge para
.
Passo 6
Conclusão: como pelo menos uma (na verdade as duas) das integrais laterais diverge (tornando-se infinita), a integral imprópria original não converge para um número finito. Dizemos que a integral diverge (especificamente diverge para
).
Resposta
Diverge (diverge para
).