Determine as seguintes integrais definidas:
2.
\int_{1}^{2} x e^{-x^{2}+1} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{1}^{2} x e^{-x^{2}+1}\,dx.
Informações dadas:
\text{integrando: } x e^{-x^{2}+1},\qquad \text{intervalo: } x\in[1,2].
Queremos um valor numérico (exato) para essa integral.

Passo 2

Vamos escolher um método: substituição (também chamada mudança de variável). Motivo: o integrando contém um termo do tipo e^{-\;x^{2}+1} e multiplicado por x. Isso sugere usar a variável t=x^{2} (ou outra variável ligada a x^{2}) porque a derivada de x^{2} é 2x, que aparece multiplicando dx. Substituição é a técnica básica indicada aqui.
Lembrete rápido sobre substituição:
se fizermos uma mudança t=g(x), então dt=g'(x)\,dx. A integral em x vira uma integral em t com os novos limites t=g(x) avaliados nas extremidades.

Passo 3

Primeiro fatoramos o fator constante que aparece em e^{-x^{2}+1}:
e^{-x^{2}+1}=e^{1}\cdot e^{-x^{2}}=e\;e^{-x^{2}}.
Portanto
\int_{1}^{2} x e^{-x^{2}+1}\,dx = e \int_{1}^{2} x e^{-x^{2}}\,dx.
Agora fazemos a substituição \;t=x^{2}. Então
dt = 2x\,dx \quad\Rightarrow\quad x\,dx=\frac{dt}{2}.

Passo 4

Mudamos também os limites de integração para a nova variável t:
quando x=1 temos t=1^{2}=1;
quando x=2 temos t=2^{2}=4.
Assim a integral fica
e \int_{x=1}^{x=2} x e^{-x^{2}}\,dx = e \int_{t=1}^{t=4} e^{-t}\cdot\frac{dt}{2}.

Passo 5

Tirando a constante \tfrac{e}{2} para fora:
e \int_{1}^{4} e^{-t}\frac{dt}{2} = \frac{e}{2}\int_{1}^{4} e^{-t}\,dt.
Integramos \int e^{-t}\,dt = -e^{-t}. Então
\frac{e}{2}\left[-e^{-t}\right]_{1}^{4} = \frac{e}{2}\left(-e^{-4}+e^{-1}\right).

Passo 6

Simplificamos o resultado: multiplicando e em cada termo,
\frac{e}{2}\left(-e^{-4}+e^{-1}\right) = \frac{1}{2}\left(-e^{1-4}+e^{1-1}\right) = \frac{1}{2}\left(-e^{-3}+1\right) = \frac{1}{2}\left(1-e^{-3}\right).
Se quiser uma checagem rápida em números: e^{-3}\approx 0,0498, então o resultado aproximado é \tfrac{1}{2}(1-0,0498)\approx 0,4751, o que faz sentido como valor final.

Resposta

\frac{1}{2}\left(1-e^{-3}\right)

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