Determine as seguintes integrais definidas:
2.
2.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral definida
Informações dadas:
Queremos um valor numérico (exato) para essa integral.
Passo 2
Vamos escolher um método: substituição (também chamada mudança de variável). Motivo: o integrando contém um termo do tipo
e multiplicado por
. Isso sugere usar a variável
(ou outra variável ligada a
) porque a derivada de
é
, que aparece multiplicando
. Substituição é a técnica básica indicada aqui.
Lembrete rápido sobre substituição:
se fizermos uma mudança , então
. A integral em
vira uma integral em
com os novos limites
avaliados nas extremidades.
se fizermos uma mudança
Passo 3
Primeiro fatoramos o fator constante que aparece em
:
Portanto
Agora fazemos a substituição
. Então
Passo 4
Mudamos também os limites de integração para a nova variável
:
quando temos
;
quando temos
.
quando
quando
Assim a integral fica
Passo 5
Tirando a constante
para fora:
Integramos
. Então
Passo 6
Simplificamos o resultado: multiplicando
em cada termo,
Se quiser uma checagem rápida em números:
, então o resultado aproximado é
, o que faz sentido como valor final.