Determine quais das seguintes integrais são divergentes:
integral-1^1 d x2 x+1

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que analisar a integral definida de 12x + 1 no intervalo de -1 a 1. O assunto aqui é cálculo de integrais, e vamos precisar verificar se essa integral é convergente (tem um valor finito) ou divergente (não tem um valor finito).

Passo 2

Primeiro, vamos observar o denominador da fração 2x + 1. Precisamos identificar se existe algum valor de x dentro do intervalo [-1, 1] que torne o denominador zero, pois isso pode indicar um ponto de descontinuidade na função.
Resolvendo 2x + 1 = 0:
2x + 1 = 0 implies x = -12
Como -12 está dentro do intervalo de -1 a 1, isso significa que a função 12x + 1 tem uma descontinuidade no ponto x = -12.

Passo 3

Devido a essa descontinuidade, a integral se torna uma integral imprópria. Para resolver, precisamos dividir a integral em duas partes, evitando o ponto de descontinuidade:
integral-1^1 dx2x + 1 = lima to -12^- integral-1^a dx2x + 1 + limb to -12^+ integralb^1 dx2x + 1
Vamos calcular cada uma dessas integrais separadamente.

Passo 4

Calculando a primeira parte:
integral dx2x + 1 = 12 ln|2x + 1| + C
Aplicando os limites:
lima to -12^- [ 12 ln|2a + 1| - 12 ln|2(-1) + 1| ] = lima to -12^- 12 ln|2a + 1| - 12 ln| -1 |
O termo ln|2a + 1| tende a ln 0, que vai para -infty.
Calculando a segunda parte:
limb to -12^+ [ 12 ln|2(1) + 1| - 12 ln|2b + 1| ] = 12 ln 3 - limb to -12^+ 12 ln|2b + 1|
Aqui, ln|2b + 1| também tende a -infty.

Passo 5

Como ambas as partes da integral tendem ao infinito, ao somarmos esses resultados, a integral total não converge para um valor finito.

Resposta

A integral é divergente.

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