Determine a integral para o volume de revolução obtido quando a região delimitada por
, o eixo
, é revolvida em torno do eixo
.
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que a questão tá pedindo. A gente precisa encontrar o volume gerado quando a região delimitada pela função $ y = \arctan x $, o eixo $ x $ e a reta $ x = 1 $ é girada em torno do eixo $ y $. Para resolver isso, vamos usar o método das cascas cilíndricas, que é uma técnica de cálculo integral para encontrar volumes de revolução.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o método das cascas cilíndricas. Esse método é útil quando o eixo de rotação é vertical ou horizontal, e a função está expressa como $ y = f(x) $. A ideia é considerar uma “casca” cilíndrica infinitesimal na região e somar o volume dessas cascas ao longo do intervalo dado.
Passo 3
Vamos estabelecer os limites de integração. A região está entre $ x = 0 $ (já que o eixo $ x $ é um dos limites) e $ x = 1 $. Então, nosso intervalo de integração será de 0 a 1.
Passo 4
A fórmula do volume usando o método das cascas cilíndricas é:
Aqui, $ x $ é a distância da casca ao eixo de rotação (no caso, eixo $ y $), e $ f(x) $ é a altura da casca.
Passo 5
No nosso caso, $ f(x) = \arctan x $. Então, substituindo na fórmula, temos:
Passo 6
Agora, precisamos resolver a integral $ \int x \cdot \arctan x , dx $. Para isso, vamos usar a integração por partes, que é baseada na fórmula:
Vamos escolher:
Passo 7
Aplicando a integração por partes:
Simplificando a segunda integral:
Passo 8
Integrando termo a termo:
Então, voltando à expressão original:
Passo 9
Agora, vamos avaliar a integral definida de 0 a 1:
Substituindo $ x = 1 $:
Substituindo $ x = 0 $:
Portanto, a integral definida é $ \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2} $.
Passo 10
Voltando à fórmula do volume:
Resposta
O volume do sólido de revolução é $ V = \frac{\pi^2}{2} - \pi $.