Determine a integral para o volume de revolução obtido quando a região delimitada por y=arctan x, o eixo x, x=1, é revolvida em torno do eixo y.

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão tá pedindo. A gente precisa encontrar o volume gerado quando a região delimitada pela função $ y = \arctan x $, o eixo $ x $ e a reta $ x = 1 $ é girada em torno do eixo $ y $. Para resolver isso, vamos usar o método das cascas cilíndricas, que é uma técnica de cálculo integral para encontrar volumes de revolução.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o método das cascas cilíndricas. Esse método é útil quando o eixo de rotação é vertical ou horizontal, e a função está expressa como $ y = f(x) $. A ideia é considerar uma “casca” cilíndrica infinitesimal na região e somar o volume dessas cascas ao longo do intervalo dado.

Passo 3

Vamos estabelecer os limites de integração. A região está entre $ x = 0 $ (já que o eixo $ x $ é um dos limites) e $ x = 1 $. Então, nosso intervalo de integração será de 0 a 1.

Passo 4

A fórmula do volume usando o método das cascas cilíndricas é:
V = 2pi integrala^b x cdot f(x) , dx
Aqui, $ x $ é a distância da casca ao eixo de rotação (no caso, eixo $ y $), e $ f(x) $ é a altura da casca.

Passo 5

No nosso caso, $ f(x) = \arctan x $. Então, substituindo na fórmula, temos:
f(x) = arctan x

Passo 6

Agora, precisamos resolver a integral $ \int x \cdot \arctan x , dx $. Para isso, vamos usar a integração por partes, que é baseada na fórmula:
integral x cdot arctan x , dx
Vamos escolher:
integral u , dv = uv - integral v , du
u = arctan x Rightarrow du = 11 + x^2 , dx

Passo 7

Aplicando a integração por partes:
integral x cdot arctan x , dx = x^22 cdot arctan x - integral x^22 cdot 11 + x^2 , dx
Simplificando a segunda integral:
integral x^22(1 + x^2) , dx = 12 integral x^21 + x^2 , dx = 12 integral (1 - 11 + x^2) , dx

Passo 8

Integrando termo a termo:
12 integral 1 , dx - 12 integral 11 + x^2 , dx = 12 x - 12 arctan x + C
Então, voltando à expressão original:
integral x cdot arctan x , dx = x^22 cdot arctan x - ( 12 x - 12 arctan x ) + C = x^22 arctan x - x2 + 12 arctan x + C

Passo 9

Agora, vamos avaliar a integral definida de 0 a 1:
[ x^22 arctan x - x2 + 12 arctan x ]0^1
Substituindo $ x = 1 $:
x = 1
Substituindo $ x = 0 $:
12 cdot pi4 - 12 + 12 cdot pi4 = pi8 - 12 + pi8 = pi4 - 12
Portanto, a integral definida é $ \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2} $.

Passo 10

Voltando à fórmula do volume:
V = 2pi ( pi4 - 12 ) = pi^22 - pi

Resposta

O volume do sólido de revolução é $ V = \frac{\pi^2}{2} - \pi $.

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