Determine quais das seguintes integrais são divergentes:
integral-1^1 d x(2 x+1)^4

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem o seguinte exercício: Determinar se a integral integral-1^1 dx(2x + 1)^4 é divergente ou não. Estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente com integrais impróprias. Para resolver isso, vamos precisar entender onde a função pode ter problemas, como pontos onde o denominador é zero.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar se há algum ponto dentro do intervalo [-1, 1] onde o denominador (2x + 1)^4 fica zero, porque isso pode causar a integral ser imprópria. Então, resolvemos:
2x + 1 = 0 Rightarrow x = -12
Isso significa que em x = -0.5, o denominador é zero e a função 1(2x + 1)^4 tende ao infinito. Então, a integral é imprópria devido a essa singularidade dentro do intervalo de integração.

Passo 3

Agora, vamos dividir a integral em duas partes para facilitar a análise:
integral-1^1 dx(2x + 1)^4 = integral-1^-0.5 dx(2x + 1)^4 + integral-0.5^1 dx(2x + 1)^4
Cada uma dessas integrais precisa ser analisada separadamente para ver se elas são convergentes (ou seja, se têm um valor finito) ou divergentes (sem valor definido, tendendo ao infinito).

Passo 4

Vamos calcular uma das integrais, já que o raciocínio será semelhante para a outra. Vamos pegar, por exemplo:
integral-0.5^1 dx(2x + 1)^4
Fazemos uma substituição para facilitar a integração. Seja u = 2x + 1, então du = 2dx ou dx = du2. Os limites de integração mudam para:
  • Quando x = -0.5, u = 0
  • Quando x = 1, u = 3
Substituindo na integral:
integral0^3 1u^4 cdot du2 = 12 integral0^3 u^-4 du

Passo 5

Agora, integramos u^-4:
12 cdot [ u^-3-3 ]0^3 = -16 [ 1u^3 ]0^3
Avaliando nos limites:
  • Em u = 3:
13^3 = 127
  • Em u = 0:
10^3 (tende ao infinito)
No entanto, como o expoente é 4, que é maior que 1, a integral de u^-4 converge mesmo que o limite em u = 0 tenda ao infinito.

Passo 6

Repetimos o mesmo processo para a outra integral:
integral-1^-0.5 dx(2x + 1)^4
Fazendo a mesma substituição u = 2x + 1, os limites ficam:
  • Quando x = -1, u = -1
  • Quando x = -0.5, u = 0
A integral se torna:
12 integral-1^0 u^-4 du
E novamente, o expoente 4 garante que a integral seja convergente mesmo no limite onde u tende a 0.

Resposta

Todas as partes da integral integral-1^1 dx(2x + 1)^4 são convergentes. Portanto, a integral não é divergente.

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