Determine quais das seguintes integrais são divergentes:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem o seguinte exercício: Determinar se a integral
é divergente ou não. Estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente com integrais impróprias. Para resolver isso, vamos precisar entender onde a função pode ter problemas, como pontos onde o denominador é zero.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar se há algum ponto dentro do intervalo
onde o denominador
fica zero, porque isso pode causar a integral ser imprópria. Então, resolvemos:
Isso significa que em
, o denominador é zero e a função
tende ao infinito. Então, a integral é imprópria devido a essa singularidade dentro do intervalo de integração.
Passo 3
Agora, vamos dividir a integral em duas partes para facilitar a análise:
Cada uma dessas integrais precisa ser analisada separadamente para ver se elas são convergentes (ou seja, se têm um valor finito) ou divergentes (sem valor definido, tendendo ao infinito).
Passo 4
Vamos calcular uma das integrais, já que o raciocínio será semelhante para a outra. Vamos pegar, por exemplo:
Fazemos uma substituição para facilitar a integração. Seja
, então
ou
. Os limites de integração mudam para:
- Quando
, - Quando
,
Substituindo na integral:
Passo 5
Agora, integramos
:
Avaliando nos limites:
- Em
:
- Em
:
No entanto, como o expoente é
, que é maior que
, a integral de
converge mesmo que o limite em
tenda ao infinito.
Passo 6
Repetimos o mesmo processo para a outra integral:
Fazendo a mesma substituição
, os limites ficam:
- Quando
, - Quando
,
A integral se torna:
E novamente, o expoente
garante que a integral seja convergente mesmo no limite onde
tende a
.
Resposta
Todas as partes da integral
são convergentes. Portanto, a integral não é divergente.