Determine se os seguintes itens são verdadeiro ou falso. No caso de ser verdadeiro provar a afirmativa e no caso de ser falso exibir um contra-exemplo.
(a) (-A)^t = -A^t;

Passo 1

O exercício pede para determinar se a afirmação é verdadeira ou falsa. Estamos lidando com operações de matrizes, especificamente a transposição e a multiplicação por escalar. Para resolver, vamos verificar se essa igualdade sempre se mantém ou se existe algum caso que a invalide.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa cada lado da equação. A expressão representa a transposição da matriz , ou seja, primeiramente multiplicamos a matriz por e depois tiramos sua transposta.

Passo 3

Por outro lado, significa que primeiro tiramos a transposta da matriz , resultando em , e então multiplicamos essa transposta por .

Passo 4

Agora, vamos aplicar a propriedade de distributividade da transposição em relação à multiplicação por escalar. Sabemos que:
onde é um escalar e é uma matriz.

Passo 5

Aplicando essa propriedade ao nosso caso, temos:
Portanto, é igual a , o que confirma que a afirmação é verdadeira.

Resposta

A afirmação é verdadeira.

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