Determine se os seguintes itens são verdadeiro ou falso. No caso de ser verdadeiro provar a afirmativa e no caso de ser falso exibir um contra-exemplo.
(a)
;
(a)
Passo 1
O exercício pede para determinar se a afirmação
é verdadeira ou falsa. Estamos lidando com operações de matrizes, especificamente a transposição e a multiplicação por escalar. Para resolver, vamos verificar se essa igualdade sempre se mantém ou se existe algum caso que a invalide.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa cada lado da equação. A expressão
representa a transposição da matriz
, ou seja, primeiramente multiplicamos a matriz
por
e depois tiramos sua transposta.
Passo 3
Por outro lado,
significa que primeiro tiramos a transposta da matriz
, resultando em
, e então multiplicamos essa transposta por
.
Passo 4
Agora, vamos aplicar a propriedade de distributividade da transposição em relação à multiplicação por escalar. Sabemos que:
onde
é um escalar e
é uma matriz.
Passo 5
Aplicando essa propriedade ao nosso caso, temos:
Portanto,
é igual a
, o que confirma que a afirmação é verdadeira.
Resposta
A afirmação
é verdadeira.