Determine os seguintes limites, se existirem:
lim x +infty 8 xraiz[4]3 x^2+5 infty

Passo 1

O exercício pede para determinar o comportamento da função f(x)=8xraiz[4]3x^2+5 quando xto+infty. O conteúdo envolve limites de funções que combinam polinômios e radicais, e vamos precisar identificar os termos de maior ordem em numerador e denominador.

Passo 2

Primeiro, reescrevemos o radical de quarta raiz como potência: raiz[4]3x^2+5=(3x^2+5)^1/4 Assim, a expressão do limite fica 8x(3x^2+5)^1/4.

Passo 3

Para comparar as potências de x, fatoramos x^2 dentro da raiz:
(3x^2+5)^1/4 = (x^2)^1/4cdotl(3+tfrac5x^2r)^1/4 = x^1/2cdot3^1/4cdotl(1+tfrac53x^2r)^1/4

Passo 4

Substituindo essa expressão no denominador, obtemos
8xx^1/2cdot3^1/4cdotl(1+tfrac53x^2r)^1/4 = 83^1/4,x^1/2,l(1+tfrac53x^2r)^-1/4

Passo 5

Quando xto+infty, temos l(1+tfrac53x^2r)^-1/4to1 e x^1/2to+infty. Portanto, o limite da expressão cresce sem limite superior.

Resposta

+infty

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