Determine os seguintes limites:
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
O enunciado não especificou para qual ponto
tende; o caso natural e mais usual para essa expressão é
. Então vou considerar que a pergunta é calcular
Informações relevantes dadas:
- A expressão tem raiz quadrada
no numerador e no denominador. - Se fizermos substituição direta em
, tanto numerador quanto denominador valem zero, portanto obtemos a forma indeterminada .
Passo 2
Entender a forma indeterminada e por que não dá só substituir.
- Substituindo
em obtemos . - Substituindo
em obtemos .
Como o quociente é, não podemos concluir o valor do limite por substituição direta: isso é chamado de forma indeterminada. Precisamos manipular a expressão para eliminar essa indeterminação.
Passo 3
Apresentar o truque algébrico (conjugado) que costuma resolver indeterminações com raízes.
- A identidade algébrica útil é a diferença de quadrados:
- Tomando
e , temos
Portanto podemos multiplicar numerador e denominador por
(o conjugado do numerador) sem alterar o valor da fração para
.
Passo 4
Multiplicar por
e simplificar passo a passo.
Pelo item anterior,
. Assim a fração fica
Passo 5
Agora que a indeterminação foi eliminada, podemos avaliar o limite usando a expressão simplificada.
A função é contínua perto de
(o denominador em
vale
), então
A função
Passo 6
Comentário adicional (método alternativo): usar a regra de L’Hôpital.
- Como temos forma
, a Regra de L’Hôpital permite derivar numerador e denominador:
Aplicando L’Hôpital:
o mesmo resultado. Na prova, prefira o conjugado (Passos 3–5) quando puder, porque é rápido e não exige lembrar condições da regra de L’Hôpital.
Passo 7
Dica de prova: ao ver expressões do tipo
ou semelhantes, pensar no conjugado e na identidade
. Isso resolve muitas indeterminações do tipo
sem calculadora. Força aí — já chegou longe, esse tipo de limite costuma ser bem direto!