Determine os seguintes limites:
\lim \frac{\sqrt{x}-1}{x-1}

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim \frac{\sqrt{x}-1}{x-1}.
O enunciado não especificou para qual ponto x tende; o caso natural e mais usual para essa expressão é x\to1. Então vou considerar que a pergunta é calcular
\lim_{x\to1}\frac{\sqrt{x}-1}{x-1}.
Informações relevantes dadas:
  • A expressão tem raiz quadrada \sqrt{x} no numerador e x-1 no denominador.
  • Se fizermos substituição direta em x=1, tanto numerador quanto denominador valem zero, portanto obtemos a forma indeterminada 0/0.

Passo 2

Entender a forma indeterminada e por que não dá só substituir.
  • Substituindo x=1 em \sqrt{x}-1 obtemos \sqrt{1}-1=0.
  • Substituindo x=1 em x-1 obtemos 1-1=0.
    Como o quociente é 0/0, não podemos concluir o valor do limite por substituição direta: isso é chamado de forma indeterminada. Precisamos manipular a expressão para eliminar essa indeterminação.

Passo 3

Apresentar o truque algébrico (conjugado) que costuma resolver indeterminações com raízes.
  • A identidade algébrica útil é a diferença de quadrados:
a^2-b^2=(a-b)(a+b).
  • Tomando a=\sqrt{x} e b=1, temos
x-1=(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1).
Portanto podemos multiplicar numerador e denominador por \sqrt{x}+1 (o conjugado do numerador) sem alterar o valor da fração para x\neq1.

Passo 4

Multiplicar por \dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+1} e simplificar passo a passo.
\frac{\sqrt{x}-1}{x-1} =\frac{\sqrt{x}-1}{x-1}\cdot\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+1} =\frac{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)}{(x-1)(\sqrt{x}+1)}.
Pelo item anterior, (\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)=x-1. Assim a fração fica
\frac{x-1}{(x-1)(\sqrt{x}+1)}=\frac{1}{\sqrt{x}+1}, \qquad \text{para }x\neq1.

Passo 5

Agora que a indeterminação foi eliminada, podemos avaliar o limite usando a expressão simplificada.
A função \dfrac{1}{\sqrt{x}+1} é contínua perto de x=1 (o denominador em x=1 vale 2\neq0), então
\lim_{x\to1}\frac{\sqrt{x}-1}{x-1} =\lim_{x\to1}\frac{1}{\sqrt{x}+1} =\frac{1}{\sqrt{1}+1}=\frac{1}{1+1}=\frac{1}{2}.

Passo 6

Comentário adicional (método alternativo): usar a regra de L’Hôpital.
  • Como temos forma 0/0, a Regra de L’Hôpital permite derivar numerador e denominador:
\text{derivada do numerador }(\sqrt{x}-1)'=\frac{1}{2\sqrt{x}},\qquad \text{derivada do denominador }(x-1)'=1.
Aplicando L’Hôpital:
\lim_{x\to1}\frac{\sqrt{x}-1}{x-1} =\lim_{x\to1}\frac{1}{2\sqrt{x}}=\frac{1}{2\sqrt{1}}=\frac{1}{2},
o mesmo resultado. Na prova, prefira o conjugado (Passos 3–5) quando puder, porque é rápido e não exige lembrar condições da regra de L’Hôpital.

Passo 7

Dica de prova: ao ver expressões do tipo \dfrac{\sqrt{x}-a}{x-a^2} ou semelhantes, pensar no conjugado e na identidade x-a^2=(\sqrt{x}-a)(\sqrt{x}+a). Isso resolve muitas indeterminações do tipo 0/0 sem calculadora. Força aí — já chegou longe, esse tipo de limite costuma ser bem direto!

Resposta

\dfrac{1}{2}

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