Determine os seguintes limites:
\quad \lim \frac{x^{2}}{\sqrt{x^{2}+12}-\sqrt{12}} (2 \sqrt{12} \quad)

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\to 0}\frac{x^{2}}{\sqrt{x^{2}+12}-\sqrt{12}}.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função é \displaystyle f(x)=\frac{x^{2}}{\sqrt{x^{2}+12}-\sqrt{12}}.
  • Ao tentar substituir x=0 diretamente obtemos \dfrac{0}{\sqrt{12}-\sqrt{12}}=\dfrac{0}{0}, ou seja, a forma é indeterminada \dfrac{0}{0}.

Passo 2

Explicação didática da estratégia: quando aparece uma diferença de raízes no denominador é comum usar a técnica de racionalização, isto é, multiplicar numerador e denominador pelo conjugado do denominador. Isso elimina as raízes no denominador através da identidade de diferença de quadrados:
(a-b)(a+b)=a^{2}-b^{2}.
Aqui a=\sqrt{x^{2}+12} e b=\sqrt{12}. Vamos aplicar essa técnica para simplificar a expressão e tirar a indeterminação.

Passo 3

Multiplicando por \dfrac{\sqrt{x^{2}+12}+\sqrt{12}}{\sqrt{x^{2}+12}+\sqrt{12}} (que é igual a 1) obtemos:
\frac{x^{2}}{\sqrt{x^{2}+12}-\sqrt{12}}\cdot\frac{\sqrt{x^{2}+12}+\sqrt{12}}{\sqrt{x^{2}+12}+\sqrt{12}} = \frac{x^{2}\big(\sqrt{x^{2}+12}+\sqrt{12}\big)}{(\sqrt{x^{2}+12})^{2}-(\sqrt{12})^{2}}.
Agora calculamos o denominador usando diferença de quadrados:
(\sqrt{x^{2}+12})^{2}-(\sqrt{12})^{2}=x^{2}+12-12=x^{2}.

Passo 4

Substituindo esse resultado na expressão temos, para x\neq 0,
\frac{x^{2}\big(\sqrt{x^{2}+12}+\sqrt{12}\big)}{x^{2}} =\sqrt{x^{2}+12}+\sqrt{12}.
Para o limite, podemos cancelar x^{2} porque estamos considerando x próximos de 0 mas diferentes de 0. A função resultante \sqrt{x^{2}+12}+\sqrt{12} é contínua em x=0, então podemos tomar o limite por substituição:
\lim_{x\to 0}\big(\sqrt{x^{2}+12}+\sqrt{12}\big)=\sqrt{0+12}+\sqrt{12}=2\sqrt{12}.

Passo 5

Podemos também simplificar \sqrt{12}: \sqrt{12}=\sqrt{4\cdot3}=2\sqrt{3}. Assim
2\sqrt{12}=2\cdot(2\sqrt{3})=4\sqrt{3}.

Resposta

2\sqrt{12}=4\sqrt{3}

Exercícios relacionados