Determine os seguintes limites:
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
Informações relevantes fornecidas:
- A função é
. - Ao tentar substituir
diretamente obtemos , ou seja, a forma é indeterminada .
Passo 2
Explicação didática da estratégia: quando aparece uma diferença de raízes no denominador é comum usar a técnica de racionalização, isto é, multiplicar numerador e denominador pelo conjugado do denominador. Isso elimina as raízes no denominador através da identidade de diferença de quadrados:
Aqui
e
. Vamos aplicar essa técnica para simplificar a expressão e tirar a indeterminação.
Passo 3
Multiplicando por
(que é igual a
) obtemos:
Agora calculamos o denominador usando diferença de quadrados:
Passo 4
Substituindo esse resultado na expressão temos, para
,
Para o limite, podemos cancelar
porque estamos considerando
próximos de
mas diferentes de
. A função resultante
é contínua em
, então podemos tomar o limite por substituição:
Passo 5
Podemos também simplificar
:
. Assim