Determine os seguintes limites no infinito:
\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{5^{x}}{3^{x}+2^{x}}\

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite
\lim_{x\to\infty}\frac{5^{x}}{3^{x}+2^{x}}.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • As funções envolvidas são exponenciais com bases 5, 3 e 2.
  • A variável x tende para +\infty.
    A tarefa é determinar para onde a fração acima converge quando x cresce sem limite.

Passo 2

Vamos simplificar a expressão dividindo numerador e denominador por 3^{x}. Isso é uma técnica padrão para comparar termos exponenciais com bases diferentes: ao fatorar a maior potência comum do denominador, obtemos fatores na forma (\text{base})^{x} com base relativa. A operação algébrica é
\frac{5^{x}}{3^{x}+2^{x}} = \frac{\dfrac{5^{x}}{3^{x}}}{\dfrac{3^{x}}{3^{x}}+\dfrac{2^{x}}{3^{x}}} = \frac{\left(\dfrac{5}{3}\right)^{x}}{1+\left(\dfrac{2}{3}\right)^{x}}.

Passo 3

Estudo do numerador reduzido \left(\dfrac{5}{3}\right)^{x}.
  • Note que \dfrac{5}{3}>1.
  • Para justificar que \left(\dfrac{5}{3}\right)^{x}\to\infty quando x\to\infty, use a representação exponencial natural:
\left(\dfrac{5}{3}\right)^{x}=e^{x\ln\!\left(\dfrac{5}{3}\right)}.
Como \ln\!\left(\dfrac{5}{3}\right)>0, o expoente x\ln\!\left(\dfrac{5}{3}\right)\to\infty quando x\to\infty, portanto
\left(\dfrac{5}{3}\right)^{x}\to\infty.

Passo 4

Estudo do termo \left(\dfrac{2}{3}\right)^{x} no denominador.
  • Aqui \dfrac{2}{3}\in(0,1).
  • Usando a mesma ideia,
\left(\dfrac{2}{3}\right)^{x}=e^{x\ln\!\left(\dfrac{2}{3}\right)}.
Como \ln\!\left(\dfrac{2}{3}\right)<0, o expoente tende a -\infty quando x\to\infty, logo
\left(\dfrac{2}{3}\right)^{x}\to 0.

Passo 5

Agora junte as conclusões:
  • O numerador \left(\dfrac{5}{3}\right)^{x}\to\infty.
  • O termo adicional do denominador \left(\dfrac{2}{3}\right)^{x}\to 0, portanto o denominador 1+\left(\dfrac{2}{3}\right)^{x}\to 1 (um número positivo).
    Quando o numerador de uma fração tende para +\infty e o denominador tende para um número finito e positivo, o quociente tende para +\infty. Assim
\frac{\left(\dfrac{5}{3}\right)^{x}}{1+\left(\dfrac{2}{3}\right)^{x}}\to+\infty.

Passo 6

Interpretação intuitiva rápida: 5^{x} cresce muito mais rápido que 3^{x} e 2^{x}. Mesmo somando 3^{x}+2^{x}, o numerador domina e a razão explode para +\infty. Isso basta para a prova em prova de faculdade — coloque a factorization e as duas observações sobre bases maiores/menores que 1.

Resposta

+\infty

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