Determine os seguintes limites no infinito:
Passo 1
O enunciado pede o valor do limite
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- As funções envolvidas são exponenciais com bases
, e . - A variável
tende para .
A tarefa é determinar para onde a fração acima converge quandocresce sem limite.
Passo 2
Vamos simplificar a expressão dividindo numerador e denominador por
. Isso é uma técnica padrão para comparar termos exponenciais com bases diferentes: ao fatorar a maior potência comum do denominador, obtemos fatores na forma
com base relativa. A operação algébrica é
Passo 3
Estudo do numerador reduzido
.
- Note que
. - Para justificar que
quando , use a representação exponencial natural:
Como
, o expoente
quando
, portanto
Passo 4
Estudo do termo
no denominador.
- Aqui
. - Usando a mesma ideia,
Como
, o expoente tende a
quando
, logo
Passo 5
Agora junte as conclusões:
- O numerador
. - O termo adicional do denominador
, portanto o denominador (um número positivo).
Quando o numerador de uma fração tende parae o denominador tende para um número finito e positivo, o quociente tende para . Assim
Passo 6
Interpretação intuitiva rápida:
cresce muito mais rápido que
e
. Mesmo somando
, o numerador domina e a razão explode para
. Isso basta para a prova em prova de faculdade — coloque a factorization e as duas observações sobre bases maiores/menores que
.