Determine os seguintes limites.
Passo 1
O problema pede calcular o seguinte limite unilateral:
Informações dadas e observações imediatas:
- A expressão envolve
e . - O ponto de aproximação é
, pela esquerda (ou seja, aproxima-se de por valores menores). - Sabemos que
e , então as funções e têm comportamento singular perto desse ponto porque ambas usam no denominador.
Passo 2
Primeiro, escrevemos
e
em termos de
e
:
Substituindo na expressão do limite:
Como os dois termos têm o mesmo denominador
, podemos juntar:
Passo 3
Agora examinamos o comportamento das partes quando
:
-
, então . -
. Aproximando-se pela esquerda de , é positivo e tende a .
Portanto a forma é, uma indeterminação. Precisamos simplificar a expressão para obter um limite determinado.
Passo 4
Vamos eliminar a indeterminação usando uma identidade algébrica. Multiplicamos numerador e denominador por
(isso é equivalente a usar a diferença de quadrados):
Usamos a identidade trigonométrica
, então
. Substituindo:
Agora simplificamos um fator
(desde que
, o que vale para
próximos de
mas não igual):
Portanto, para
próximo de
(mas
),
Passo 5
Agora avaliamos o limite da forma simplificada. Quando
:
-
, -
.
Logo
Observação sobre o sinal: como
é positivo pela esquerda de
, o quociente
é negativo para
próximos, então a função tende a
pela esquerda (ou seja, tende a
). Mas o valor do limite é
.