Determine os seguintes limites.
\lim _{x \rightarrow \frac{\pi}{2}^{-}} \tan (x)-\operatorname{sec} (x)

Passo 1

O problema pede calcular o seguinte limite unilateral:
\lim_{x\to\frac{\pi}{2}^{-}} \tan(x)-\operatorname{sec}(x).
Informações dadas e observações imediatas:
  • A expressão envolve \tan(x) e \operatorname{sec}(x).
  • O ponto de aproximação é x=\frac{\pi}{2}, pela esquerda (ou seja, x aproxima-se de \frac{\pi}{2} por valores menores).
  • Sabemos que \cos\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=0 e \sin\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=1, então as funções \tan e \operatorname{sec} têm comportamento singular perto desse ponto porque ambas usam \cos(x) no denominador.

Passo 2

Primeiro, escrevemos \tan e \operatorname{sec} em termos de \sin e \cos:
\tan(x)=\frac{\sin(x)}{\cos(x)},\qquad \operatorname{sec}(x)=\frac{1}{\cos(x)}.
Substituindo na expressão do limite:
\tan(x)-\operatorname{sec}(x)=\frac{\sin(x)}{\cos(x)}-\frac{1}{\cos(x)}.
Como os dois termos têm o mesmo denominador \cos(x), podemos juntar:
\tan(x)-\operatorname{sec}(x)=\frac{\sin(x)-1}{\cos(x)}.

Passo 3

Agora examinamos o comportamento das partes quando x\to\frac{\pi}{2}^{-}:
  • \sin(x)\to 1, então \sin(x)-1\to 0.
  • \cos(x)\to 0. Aproximando-se pela esquerda de \frac{\pi}{2}, \cos(x) é positivo e tende a 0^+.
    Portanto a forma é \frac{0}{0}, uma indeterminação. Precisamos simplificar a expressão para obter um limite determinado.

Passo 4

Vamos eliminar a indeterminação usando uma identidade algébrica. Multiplicamos numerador e denominador por \sin(x)+1 (isso é equivalente a usar a diferença de quadrados):
\frac{\sin(x)-1}{\cos(x)}\cdot\frac{\sin(x)+1}{\sin(x)+1} =\frac{\sin^2(x)-1}{\cos(x)\,(\sin(x)+1)}.
Usamos a identidade trigonométrica \sin^2(x)+\cos^2(x)=1, então \sin^2(x)-1=-\cos^2(x). Substituindo:
\frac{\sin^2(x)-1}{\cos(x)\,(\sin(x)+1)} =\frac{-\cos^2(x)}{\cos(x)\,(\sin(x)+1)}.
Agora simplificamos um fator \cos(x) (desde que \cos(x)\neq0, o que vale para x próximos de \frac{\pi}{2} mas não igual):
\frac{-\cos^2(x)}{\cos(x)\,(\sin(x)+1)}=-\frac{\cos(x)}{\sin(x)+1}.
Portanto, para x próximo de \frac{\pi}{2} (mas x\neq\frac{\pi}{2}),
\tan(x)-\operatorname{sec}(x)=-\frac{\cos(x)}{\sin(x)+1}.

Passo 5

Agora avaliamos o limite da forma simplificada. Quando x\to\frac{\pi}{2}^{-}:
  • \cos(x)\to 0^+,
  • \sin(x)+1 \to 1+1=2.
    Logo
\lim_{x\to\frac{\pi}{2}^{-}} -\frac{\cos(x)}{\sin(x)+1} = -\frac{0}{2}=0.
Observação sobre o sinal: como \cos(x) é positivo pela esquerda de \frac{\pi}{2}, o quociente -\frac{\cos(x)}{\sin(x)+1} é negativo para x próximos, então a função tende a 0 pela esquerda (ou seja, tende a 0^-). Mas o valor do limite é 0.

Resposta

0

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