Resolva o PVI \left\{\begin{array}{l}p^{\prime}=(a-b p) p \\\ p\left(t_{0}\right)=p_{0}\end{array}\right., onde a e b são constantes positivas e p_{0} \neq 0 e p_{0} \neq \frac{a}{b}.

Passo 1

O enunciado dá o problema de valor inicial
\begin{cases} p'(t) = \bigl(a - b\,p(t)\bigr)\,p(t),\\[4pt] p(t_0)=p_0, \end{cases}
onde a>0, b>0, p_0\neq 0 e p_0\neq \dfrac{a}{b}.
O que se pede: encontrar a solução explícita p(t) que satisfaz esta equação diferencial e a condição inicial.]

Passo 2

Observação útil: escrevemos p'=\dfrac{dp}{dt}. A equação é separável porque podemos escrever os termos com p de um lado e dt do outro. Faço a separação das variáveis:
\frac{dp}{p(a-bp)} = dt.
Explicação didática: uma equação separável é aquela em que conseguimos colocar todos os fatores que dependem de p multiplicando dp e todos os fatores que dependem de t multiplicando dt. Aí integramos cada lado.

Passo 3

Para integrar \displaystyle\int \frac{dp}{p(a-bp)} usamos frações parciais. Procuramos constantes A e B tais que
\frac{1}{p(a-bp)}=\frac{A}{p}+\frac{B}{a-bp}.
Multiplicando ambos os lados por p(a-bp) obtemos
1 = A(a-bp) + Bp = Aa + p(B - Ab).
Igualando coeficientes: do termo constante vem Aa=1 então A=\dfrac{1}{a}. Do coeficiente de p vem B - Ab =0 então B = Ab = \dfrac{b}{a}.

Passo 4

Agora integramos usando a decomposição encontrada:
\int \frac{dp}{p(a-bp)} = \int \left(\frac{1}{a}\cdot\frac{1}{p} + \frac{b}{a}\cdot\frac{1}{a-bp}\right) dp.
Calculamos cada integral: \displaystyle\int \frac{1}{a}\frac{1}{p}\,dp = \frac{1}{a}\ln|p|. Para a segunda, fazemos a substituição u=a-bp (ou reconhecemos que \int \frac{1}{a-bp}\,dp = -\frac{1}{b}\ln|a-bp|), então
\int \frac{b}{a}\cdot\frac{1}{a-bp}\,dp = \frac{b}{a}\left(-\frac{1}{b}\ln|a-bp|\right) = -\frac{1}{a}\ln|a-bp|.
Somando,
\int \frac{dp}{p(a-bp)} = \frac{1}{a}\ln\!\left|\frac{p}{a-bp}\right| + C.
Do lado direito \int dt = t + C'. Igualando e absorvendo constantes:
\frac{1}{a}\ln\!\left|\frac{p}{a-bp}\right| = t + C_1.

Passo 5

Multiplicando por a e exponenciando obtemos
\ln\!\left|\frac{p}{a-bp}\right| = a t + C_2 \quad\Longrightarrow\quad \frac{p}{a-bp} = C e^{a t},
onde C é uma constante real não nula (podemos absorver o sinal na constante).

Passo 6

Isolamos p algebricamente. Partimos de
\frac{p}{a-bp} = C e^{a t}.
Multiplicando ambos os lados por a-bp:
p = C e^{a t}(a - b p).
Colocando os termos com p juntos:
p + b C e^{a t} p = a C e^{a t} \quad\Longrightarrow\quad p\bigl(1 + b C e^{a t}\bigr) = a C e^{a t}.
Logo
p(t) = \frac{a C e^{a t}}{1 + b C e^{a t}}.
Esse é um formato padrão da solução logística; agora usamos a condição inicial para determinar C.

Passo 7

Aplicando p(t_0)=p_0 na forma \dfrac{p}{a-bp}=C e^{a t} (mais direta para achar C):
\frac{p_0}{a - b p_0} = C e^{a t_0}.
Portanto
C = \frac{p_0}{a - b p_0}\,e^{-a t_0}.
Nota didática: aqui usamos explicitamente que p_0\neq 0 e a-bp_0\neq 0 (isto é p_0\neq \dfrac{a}{b}) para garantir que não dividimos por zero. Se p_0=0 a solução especial seria p\equiv 0, e se p_0=\dfrac{a}{b} a solução constante seria p\equiv \dfrac{a}{b}; essas duas situações foram excluídas pelo enunciado.

Passo 8

Substituímos C na expressão de p(t). Começo com
p(t) = \frac{a C e^{a t}}{1 + b C e^{a t}}.
Substituindo C=\dfrac{p_0}{a-bp_0}e^{-a t_0} obtemos, simplificando usando e^{a t}e^{-a t_0}=e^{a(t-t_0)},
p(t) = \frac{a\displaystyle\frac{p_0}{a-bp_0}e^{a(t-t_0)}}{1 + b\displaystyle\frac{p_0}{a-bp_0}e^{a(t-t_0)}}.
Multiplicando numerador e denominador por a-bp_0 dá uma forma mais limpa:
p(t) = \frac{a p_0 e^{a(t-t_0)}}{a - b p_0 + b p_0 e^{a(t-t_0)}}.
Reorganizando o denominador como a + b p_0\bigl(e^{a(t-t_0)}-1\bigr) obtém-se a forma frequentemente usada:
p(t) = \frac{a p_0 e^{a(t-t_0)}}{a + b p_0\bigl(e^{a(t-t_0)}-1\bigr)}.
Isso é equivalente à expressão anterior e é a solução do PVI.

Passo 9

Resumo didático rápido: a técnica principal foi separar variáveis, usar frações parciais para integrar a parte em p, aplicar a condição inicial para encontrar a constante de integração e simplificar. A solução encontrada evita divisões por zero graças às hipóteses p_0\neq 0 e p_0\neq \dfrac{a}{b}. Um comentário qualitativo: para a,b>0 essa solução tende para \dfrac{a}{b} quando t\to\infty (se p_0>0), comportamento típico da equação logística.

Resposta

p(t)=\frac{a p_0 e^{a(t-t_0)}}{a + b p_0\bigl(e^{a(t-t_0)}-1\bigr)}

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