Determine os seguintes limites.
:
:
Passo 1
O enunciado pede o limite
Informações dadas e observações imediatas:
- A expressão envolve a função
. - Para
o argumento do logaritmo é positivo, então a expressão está bem definida quando tende para . - Queremos avaliar o comportamento da expressão quando
cresce sem limite.
Passo 2
Fazemos a substituição simples para tornar o limite mais manejável: seja
Então quando
temos
. Reescrevendo a expressão em função de
:
Portanto
Passo 3
Analisamos a forma indeterminada: quando
,
logo temos uma forma do tipo
, que é indeterminada. Isso abre caminho para usar uma técnica que resolve limites nessa situação (por exemplo, a regra de L’Hôpital ou uma expansão em série).
Passo 4
Vamos aplicar a regra de L’Hôpital. Seja
Ambas tendem a
quando
e são diferenciáveis perto de
. Calculamos as derivadas:
Pelo critério de L’Hôpital,
Como
quando
, obtemos
Passo 5
(Verificação alternativa e intuição) Usando a aproximação logarítmica para pequenos
,
Dividindo por
dá
que tende para
quando
. Isso confirma o resultado da aplicação de L’Hôpital. Intuitivamente, para
grande
é muito próximo de
, e o logaritmo fica aproximadamente
, de modo que o produto com
tende a
.