Determine os seguintes limites.
:
\lim _{x \rightarrow+\infty} x \ln \left(1-\frac{1}{x}\right)

Passo 1

O enunciado pede o limite
\lim_{x\to+\infty} x \ln\!\left(1-\frac{1}{x}\right).
Informações dadas e observações imediatas:
  • A expressão envolve a função x \mapsto x\ln\!\left(1-\frac{1}{x}\right).
  • Para x>1 o argumento do logaritmo 1-\frac{1}{x} é positivo, então a expressão está bem definida quando x tende para +\infty.
  • Queremos avaliar o comportamento da expressão quando x cresce sem limite.

Passo 2

Fazemos a substituição simples para tornar o limite mais manejável: seja
u=\frac{1}{x}.
Então quando x\to+\infty temos u\to0^+. Reescrevendo a expressão em função de u:
x\ln\!\left(1-\frac{1}{x}\right)=\frac{1}{u}\ln(1-u)=\frac{\ln(1-u)}{u}.
Portanto
\lim_{x\to+\infty} x\ln\!\left(1-\frac{1}{x}\right) = \lim_{u\to0^+}\frac{\ln(1-u)}{u}.

Passo 3

Analisamos a forma indeterminada: quando u\to0^+,
\ln(1-u)\to\ln(1)=0 \quad\text{e}\quad u\to0,
logo temos uma forma do tipo \frac{0}{0}, que é indeterminada. Isso abre caminho para usar uma técnica que resolve limites nessa situação (por exemplo, a regra de L’Hôpital ou uma expansão em série).

Passo 4

Vamos aplicar a regra de L’Hôpital. Seja
f(u)=\ln(1-u),\qquad g(u)=u.
Ambas tendem a 0 quando u\to0 e são diferenciáveis perto de 0. Calculamos as derivadas:
f'(u)=-\frac{1}{1-u},\qquad g'(u)=1.
Pelo critério de L’Hôpital,
\lim_{u\to0^+}\frac{\ln(1-u)}{u} = \lim_{u\to0^+}\frac{f'(u)}{g'(u)} = \lim_{u\to0^+}\left(-\frac{1}{1-u}\right).
Como 1-u\to1 quando u\to0, obtemos
\lim_{u\to0^+}\left(-\frac{1}{1-u}\right)=-1.

Passo 5

(Verificação alternativa e intuição) Usando a aproximação logarítmica para pequenos u,
\ln(1-u)=-u-\frac{u^2}{2}-\frac{u^3}{3}-\cdots.
Dividindo por u
\frac{\ln(1-u)}{u}=-1-\frac{u}{2}-\frac{u^2}{3}-\cdots,
que tende para -1 quando u\to0. Isso confirma o resultado da aplicação de L’Hôpital. Intuitivamente, para x grande 1-\frac{1}{x} é muito próximo de 1, e o logaritmo fica aproximadamente -\frac{1}{x}, de modo que o produto com x tende a -1.

Resposta

-1

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