Determine os seguintes limites utilizando a Regra de L’Hôspital.
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^{2}+6 x}{x^{3}+7 x^{2}+5 x}

Passo 1

O enunciado pede calcular
\lim_{x\to0}\frac{x^{2}+6x}{x^{3}+7x^{2}+5x}
usando a regra de L’Hôpital, que serve para resolver indeterminações do tipo \tfrac{0}{0}.

Passo 2

Fazendo substituição direta em x=0, o numerador vira
0^{2}+6\cdot 0=0 e o denominador vira
0^{3}+7\cdot 0^{2}+5\cdot 0=0,
ou seja, temos a forma indeterminada \frac{0}{0}, então podemos aplicar L’Hôpital.

Passo 3

Derivamos numerador e denominador separadamente:
\frac{d}{dx}(x^{2}+6x)=2x+6
e
\frac{d}{dx}(x^{3}+7x^{2}+5x)=3x^{2}+14x+5.
Pela regra de L’Hôpital, o limite original é igual a
\lim_{x\to0}\frac{2x+6}{3x^{2}+14x+5}.

Passo 4

Agora substituímos x=0 na nova expressão:
\frac{2\cdot0+6}{3\cdot0^{2}+14\cdot0+5}=\frac{6}{5}.
Portanto, o limite existe e vale \tfrac{6}{5}.

Resposta

\frac{6}{5}

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