Determine os seguintes limites utilizando a Regra de L’Hôspital.
\lim _{t \rightarrow 0} \frac{e^{2 t}-1}{\operatorname{sen} t}

Passo 1

O enunciado pede calcular
\lim_{t\to0}\frac{e^{2t}-1}{\sin t}
Este é um problema de limite que apresenta forma indeterminada 0/0. Vamos usar a Regra de L’Hôpital, que diz que se \lim_{x\to a}f(x)=0 e \lim_{x\to a}g(x)=0, então
\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)},
desde que o limite do quociente das derivadas exista.

Passo 2

Verificamos que, ao substituir t=0, o numerador fica e^{0}-1=0 e o denominador \sin0=0. Logo é caso \tfrac{0}{0} e a Regra de L’Hôpital se aplica.

Passo 3

Derivamos numerador e denominador:
\frac{d}{dt}\bigl(e^{2t}-1\bigr)=2e^{2t}, \qquad \frac{d}{dt}\bigl(\sin t\bigr)=\cos t.
Assim o limite original vira
\lim_{t\to0}\frac{2e^{2t}}{\cos t}.

Passo 4

Basta agora substituir t=0 nesse novo quociente:
\lim_{t\to0}\frac{2e^{2t}}{\cos t} =\frac{2e^0}{\cos0} =\frac{2\cdot1}{1} =2.

Resposta

2

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