Determine os seguintes limites utilizando a Regra de L’Hôspital.
\lim _{x \rightarrow 2} \frac{x^{2}-4 x+4}{x^{2}-x-2}

Passo 1

Resumindo o enunciado: queremos calcular
\lim_{x \to 2} \frac{x^{2} - 4x + 4}{x^{2} - x - 2}
O conteúdo principal é a Regra de L’H^opital, que nos permite resolver limites do tipo \tfrac{0}{0} calculando as derivadas do numerador e do denominador.

Passo 2

Verificamos o tipo de indeterminação substituindo x = 2:
\text{numerador} = 2^{2} - 4\cdot2 + 4 = 4 - 8 + 4 = 0,
\text{denominador} = 2^{2} - 2 - 2 = 4 - 2 - 2 = 0.
Como obtemos 0/0, podemos aplicar a Regra de L’H^opital.

Passo 3

Calculamos as derivadas de numerador e denominador:
\frac{d}{dx}\bigl(x^{2} - 4x + 4\bigr) = 2x - 4,
\frac{d}{dx}\bigl(x^{2} - x - 2\bigr) = 2x - 1.

Passo 4

Pela Regra de L’H^opital,
\lim_{x \to 2} \frac{x^{2} - 4x + 4}{x^{2} - x - 2} = \lim_{x \to 2} \frac{2x - 4}{2x - 1}.
Agora substituímos diretamente x = 2 na nova expressão:
\frac{2\cdot2 - 4}{2\cdot2 - 1} = \frac{4 - 4}{4 - 1} = \frac{0}{3} = 0.

Resposta

0

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