Determine os seguintes limites utilizando a Regra de L’Hôspital.
\quad \lim _{x \rightarrow 1 / 2} \frac{6 x^{2}+5 x-4}{4 x^{2}+16 x-9}

Passo 1

O enunciado pede calcular
\displaystyle \lim_{x\to \tfrac12} \frac{6x^2+5x-4}{4x^2+16x-9}
usando a regra de L’Hôspital. Vamos primeiro verificar se a forma é indeterminada e depois aplicar a derivação de numerador e denominador.

Passo 2

Substituindo x = \tfrac12 no numerador:
6\bigl(\tfrac12\bigr)^2 + 5\bigl(\tfrac12\bigr) - 4 = 6\cdot\tfrac14 + \tfrac52 - 4 = \tfrac32 + \tfrac52 - 4 = 0.
No denominador:
4\bigl(\tfrac12\bigr)^2 + 16\bigl(\tfrac12\bigr) - 9 = 4\cdot\tfrac14 + 8 - 9 = 1 + 8 - 9 = 0.
Como obtemos 0/0, há indeterminação e podemos aplicar a regra de L’Hôspital.

Passo 3

Pela regra de L’Hôspital:
\lim_{x\to \tfrac12} \frac{6x^2+5x-4}{4x^2+16x-9} = \lim_{x\to \tfrac12} \frac{\dfrac{d}{dx}(6x^2+5x-4)}{\dfrac{d}{dx}(4x^2+16x-9)} = \lim_{x\to \tfrac12} \frac{12x+5}{8x+16}.

Passo 4

Agora basta substituir x = \tfrac12 na nova expressão:
\frac{12(\tfrac12)+5}{8(\tfrac12)+16} = \frac{6+5}{4+16} = \frac{11}{20}.

Resposta

\displaystyle \frac{11}{20}

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