Determine os seguintes limites utilizando a Regra de Le) lim x +infty x^2 / 3(x^2+2)^1 / 3

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão pede. Precisamos calcular o limite quando $ x $ tende ao infinito da função $ \frac{x{2/3}}{(x{2} + 2)^{1/3}} $. Para resolver isso, vamos usar a Regra de L’Hôpital, que é uma técnica útil para encontrar limites que resultam em formas indeterminadas como $ \frac{\infty}{\infty} $.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a expressão para facilitar a aplicação da regra. Sabemos que $ \frac{x{2/3}}{(x{2} + 2)^{1/3}} $ pode ser simplificada utilizando propriedades de potências. Podemos escrever:
x^2/3(x^2 + 2)^1/3

Passo 3

Agora, vamos analisar o comportamento da fração dentro do radical quando $ x $ tende ao infinito:
x
Quando $ x $ é muito grande, o termo $ 2 $ se torna insignificante comparado a $ x^{2} $, então a fração se aproxima de 1:
x^2x^2 + 2

Passo 4

Com isso, temos que a expressão completa fica:
limx to +infty ( x^2x^2 + 2 )^1/3 = ( limx to +infty x^2x^2 + 2 )^1/3 = 1^1/3 = 1

Resposta

O limite da função quando $ x $ tende ao infinito é 1.

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