Encontre a solução geral da equação diferencial e resolva o problema de valor inicial dado pela equação
t y^prime+b y=t^2
e a condição inicial y(1) = 2. Considere b como sendo o primeiro algarismo não nulo do seu número de matrícula.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem não homogênea t,y'+b,y=t^2 com condição inicial y(1)=2. O conteúdo é equação linear de coeficientes dependentes de t e vamos usar fator integrante para encontrar a solução geral e depois ajustar a constante via o valor inicial.

Passo 2

Primeiro colocamos a equação na forma padrão y'+P(t)y=Q(t). Dividindo tudo por t (supondo tneq0) temos
y'+bty = t

Passo 3

Agora calculamos o fator integrante mu(t), que satisfaz mu'=P(t)mu. Aqui
mu(t)=expl(integralbt,dtr)=exp(bln t)=t^b

Passo 4

Multiplicamos a equação padrão pelo fator integrante t^b. Isso dá
t^b y' + b,t^b-1y = t^b+1,
e o lado esquerdo é exatamente a derivada de t^b y:
ddtl(t^b yr)=t^b+1

Passo 5

Integramos ambos os lados em relação a t:
integral dl(t^b yr)=integral t^b+1,dtLongrightarrow t^b y = t^b+2b+2 + C,
onde C é constante de integração (assumindo bneq-2, o que vale pois b é dígito de matrícula).

Passo 6

Isolando y obtemos a solução geral:
y(t)=t^2b+2 + C,t^-b

Passo 7

Para ajustar C usamos a condição inicial y(1)=2:
2 = 1^2b+2 + Ccdot1^-b = 1b+2 + C Longrightarrow C=2-1b+2=2b+3b+2

Passo 8

Substituindo C na solução geral chega-se à solução que satisfaz y(1)=2.

Resposta

y(t)=dfract^2b+2+dfrac2b+3b+2,t^-b

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