Determine quais das seguintes operações binárias são associativa (comutativa):
A operação (*) sobre \mathbb{Q} definida por a * b=a-b+a b.

Passo 1

O enunciado pede para determinar, para a operação binária * definida em \mathbb{Q} por
a*b = a - b + ab,
se ela é associativa e se ela é comutativa. Informações dadas: a operação está definida para quaisquer a,b em \mathbb{Q} pela fórmula acima. As duas perguntas a responder são: (1) * é comutativa? (2) * é associativa?

Passo 2

Primeiro vamos lembrar, de forma clara e simples, o que significam as duas propriedades (vou explicar como testar cada uma delas):
\n
  • Comutatividade: uma operação * é comutativa quando, para todo a,b no conjunto, vale
a*b = b*a.
Para testar, calculamos a*b e b*a e comparamos simbolicamente.
\n
  • Associatividade: uma operação * é associativa quando, para todo a,b,c no conjunto, vale
(a*b)*c = a*(b*c).
Para testar, calculamos as duas expressões (a*b)*c e a*(b*c) e comparamos termo a termo (se for igual para todos a,b,c, é associativa).

Passo 3

Testando comutatividade: calculemos a*b e b*a.
\n
Pela definição temos
a*b = a - b + ab.
b*a = b - a + ba.
Mas ba = ab, portanto
b*a = b - a + ab.
Comparemos a*b e b*a:
a*b = a - b + ab,
b*a = b - a + ab.

Passo 4

Continuando a comparação para ver se são iguais para todos a,b:
\n
Subtraindo termo a termo, a diferença é
a*b - b*a = (a - b + ab) - (b - a + ab) = a - b + ab - b + a - ab = 2a - 2b = 2(a-b).
Portanto a*b = b*a se, e só se, 2(a-b)=0, isto é, se a=b. Como nem todo par a,b\in\mathbb{Q} satisfaz a=b, a igualdade não vale em geral. Conclusão: a operação * não é comutativa.

Passo 5

Agora testamos associatividade. Vamos calcular as duas expressões (a*b)*c e a*(b*c) passo a passo, mantendo todas as contas explícitas.

Passo 6

Calculemos (a*b)*c.
\n
Primeiro a*b = a - b + ab. Aplicando a operação com c,
(a*b)*c = (a - b + ab) * c.
Pela definição da operação, trocar a por (a-b+ab) e b por c:
(a*b)*c = (a - b + ab) - c + (a - b + ab)\,c.
Agora expandimos o último produto (a - b + ab)\,c:
(a - b + ab)\,c = ac - bc + abc.
Somando tudo:
(a*b)*c = a - b + ab - c + ac - bc + abc.
Reagrupando (apenas para visualizar melhor):
(a*b)*c = a + ab + ac + abc - b - bc - c.

Passo 7

Calculemos a*(b*c).
\n
Primeiro b*c = b - c + bc. Aplicando a operação com a,
a*(b*c) = a * (b - c + bc).
Pela definição,
a*(b*c) = a - (b - c + bc) + a(b - c + bc).
Expandindo o negativo e o produto:
a - (b - c + bc) = a - b + c - bc,
a(b - c + bc) = ab - ac + abc.
Somando:
a*(b*c) = a - b + c - bc + ab - ac + abc.
Reagrupando:
a*(b*c) = a + ab - ac + abc - b - bc + c.

Passo 8

Comparemos (a*b)*c e a*(b*c) subtraindo uma da outra para ver a diferença.
\n
Usando as formas reagrupadas:
(a*b)*c = a + ab + ac + abc - b - bc - c,
a*(b*c) = a + ab - ac + abc - b - bc + c.
A diferença é
(a*b)*c - a*(b*c) = (a + ab + ac + abc - b - bc - c) - (a + ab - ac + abc - b - bc + c).
Cancelam-se muitos termos; ficando
(a*b)*c - a*(b*c) = 2ac - 2c = 2c(a-1).
Portanto, (a*b)*c = a*(b*c) se, e só se, 2c(a-1)=0, isto é, se c=0 ou a=1. Como essa condição não é verdadeira para todos os a,b,c\in\mathbb{Q}, a operação não é associativa em geral.

Passo 9

Para ficar ainda mais claro, um contraexemplo numérico simples (peguei valores concretos) mostra a desigualdade: escolha \,a=2, \,b=0, \,c=1 (todos em \mathbb{Q}). Calculando:
(a*b)*c = (2*0)*1 = (2-0+2\cdot0)*1 = 2*1 = 2-1+2\cdot1 = 3,
a*(b*c) = 2*(0*1) = 2*(0-1+0\cdot1) = 2*(-1) = 2 - (-1) + 2\cdot(-1) = 2+1-2 = 1.
Como 3 \neq 1, confirma-se que a operação não é associativa.

Resposta

Associativa: Não
Comutativa: Não

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