Determine quais das seguintes operações binárias são associativa (comutativa):
A operação (*) sobre
definida por
.
A operação (*) sobre
Passo 1
O enunciado pede para determinar, para a operação binária
definida em
por
se ela é associativa e se ela é comutativa. Informações dadas: a operação está definida para quaisquer
em
pela fórmula acima. As duas perguntas a responder são: (1)
é comutativa? (2)
é associativa?
Passo 2
Primeiro vamos lembrar, de forma clara e simples, o que significam as duas propriedades (vou explicar como testar cada uma delas):
\n
\n
- Comutatividade: uma operação
é comutativa quando, para todo no conjunto, vale
Para testar, calculamos
e
e comparamos simbolicamente.
\n
\n
- Associatividade: uma operação
é associativa quando, para todo no conjunto, vale
Para testar, calculamos as duas expressões
e
e comparamos termo a termo (se for igual para todos
, é associativa).
Passo 3
Testando comutatividade: calculemos
e
.
\n
Pela definição temos
\n
Pela definição temos
Mas
, portanto
Comparemos
e
:
Passo 4
Continuando a comparação para ver se são iguais para todos
:
\n
Subtraindo termo a termo, a diferença é
\n
Subtraindo termo a termo, a diferença é
Portanto
se, e só se,
, isto é, se
. Como nem todo par
satisfaz
, a igualdade não vale em geral. Conclusão: a operação
não é comutativa.
Passo 5
Agora testamos associatividade. Vamos calcular as duas expressões
e
passo a passo, mantendo todas as contas explícitas.
Passo 6
Calculemos
.
\n
Primeiro . Aplicando a operação com
,
\n
Primeiro
Pela definição da operação, trocar
por
e
por
:
Agora expandimos o último produto
:
Somando tudo:
Reagrupando (apenas para visualizar melhor):
Passo 7
Calculemos
.
\n
Primeiro . Aplicando a operação com
,
\n
Primeiro
Pela definição,
Expandindo o negativo e o produto:
Somando:
Reagrupando:
Passo 8
Comparemos
e
subtraindo uma da outra para ver a diferença.
\n
Usando as formas reagrupadas:
\n
Usando as formas reagrupadas:
A diferença é
Cancelam-se muitos termos; ficando
Portanto,
se, e só se,
, isto é, se
ou
. Como essa condição não é verdadeira para todos os
, a operação não é associativa em geral.
Passo 9
Para ficar ainda mais claro, um contraexemplo numérico simples (peguei valores concretos) mostra a desigualdade: escolha
,
,
(todos em
). Calculando:
Como
, confirma-se que a operação não é associativa.
Resposta
Associativa: Não
Comutativa: Não
Comutativa: Não