Suponhamos que uma operação binária * sobre G tenha uma unidade e satisfaça a identidade
a *(b * c)=(a * c) * b, \quad \forall a, b, c \in G

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • Existe uma operação binária * definida em um conjunto G.
  • Há uma unidade (elemento neutro) que vou chamar de e, isto é, para todo x\in G vale \;e * x = x e x * e = x.
  • A operação satisfaz a identidade
a * (b * c) = (a * c) * b,\qquad \forall a,b,c\in G.
O que o enunciado pede (vamos assumir a intenção clássica desse problema): mostrar propriedades estruturais de *. Especificamente, provar que * é comutativa e que * é associativa.

Passo 2

Lembrando o que é unidade (para não deixar nada subentendido): um elemento e\in G é unidade se, para todo x\in G,
e * x = x \quad\text{e}\quad x * e = x.
Isso significa que multiplicar por e à esquerda ou à direita não muda o elemento. Vou usar explicitamente essa propriedade quando substituir a, b ou c por e na identidade dada.

Passo 3

Prova da comutatividade: mostro que, para quaisquer b,c\in G, vale b * c = c * b.
Pegue a identidade dada e faça a = e. Então, para todos b,c\in G,
e * (b * c) = (e * c) * b.
Usando que e é unidade, temos e * (b * c) = b * c e e * c = c. Substituindo essas igualdades obtemos
b * c = c * b.
Portanto, a operação * é comutativa.

Passo 4

Agora que já sabemos que * é comutativa, vamos provar a associatividad e: para todos a,b,c\in G mostrar que (a * b) * c = a * (b * c).
Começamos com o lado esquerdo (a * b) * c. Pela comutatividade já estabelecida, (a * b) * c = c * (a * b). Ou seja,
(a * b) * c = c * (a * b).
Agora usamos a identidade original, mas aplicando-a com os papéis trocados: tome na identidade a*(b*c)=(a*c)*b a substituição a \leftarrow c,\; b \leftarrow a,\; c \leftarrow b. Então obtemos
c * (a * b) = (c * b) * a.
Como já sabemos que a operação é comutativa, (c * b) * a = a * (c * b). E novamente pela comutatividade c * b = b * c. Assim
(c * b) * a = a * (c * b) = a * (b * c).
Juntando as igualdades:
(a * b) * c = c * (a * b) = (c * b) * a = a * (b * c).
Portanto, (a * b) * c = a * (b * c) para todos a,b,c\in G, ou seja, * é associativa.

Passo 5

Resumo do raciocínio didático (para você aplicar em prova):
  • Para provar comutatividade, coloque a=e na identidade dada; a definição de unidade transforma a expressão e você obtém b*c=c*b.
  • Tendo comutatividade, para provar associatividade escreva (a*b)*c como c*(a*b) (pelo comutativo) e então aplique a identidade com uma troca adequada de variáveis (aqui: a\leftarrow c,\;b\leftarrow a,\;c\leftarrow b) para transformar c*(a*b) em a*(b*c).
  • Em provas, explicar cada substituição e lembrar explicitamente onde se usou que e é unidade e onde se usou comutatividade ajuda a pontuar bem.

Resposta

* é comutativa.
* é associativa.

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