Suponhamos que uma operação binária * sobre
tenha uma unidade e satisfaça a identidade
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
- Existe uma operação binária
definida em um conjunto . - Há uma unidade (elemento neutro) que vou chamar de
, isto é, para todo vale e . - A operação satisfaz a identidade
O que o enunciado pede (vamos assumir a intenção clássica desse problema): mostrar propriedades estruturais de
. Especificamente, provar que
é comutativa e que
é associativa.
Passo 2
Lembrando o que é unidade (para não deixar nada subentendido): um elemento
é unidade se, para todo
,
Isso significa que multiplicar por
à esquerda ou à direita não muda o elemento. Vou usar explicitamente essa propriedade quando substituir
,
ou
por
na identidade dada.
Passo 3
Prova da comutatividade: mostro que, para quaisquer
, vale
.
Pegue a identidade dada e faça
. Então, para todos
,
Usando que
é unidade, temos
e
. Substituindo essas igualdades obtemos
Portanto, a operação
é comutativa.
Passo 4
Agora que já sabemos que
é comutativa, vamos provar a associatividad e: para todos
mostrar que
.
Começamos com o lado esquerdo
. Pela comutatividade já estabelecida,
. Ou seja,
Agora usamos a identidade original, mas aplicando-a com os papéis trocados: tome na identidade
a substituição
. Então obtemos
Como já sabemos que a operação é comutativa,
. E novamente pela comutatividade
. Assim
Juntando as igualdades:
Portanto,
para todos
, ou seja,
é associativa.
Passo 5
Resumo do raciocínio didático (para você aplicar em prova):
- Para provar comutatividade, coloque
na identidade dada; a definição de unidade transforma a expressão e você obtém . - Tendo comutatividade, para provar associatividade escreva
como (pelo comutativo) e então aplique a identidade com uma troca adequada de variáveis (aqui: ) para transformar em . - Em provas, explicar cada substituição e lembrar explicitamente onde se usou que
é unidade e onde se usou comutatividade ajuda a pontuar bem.